Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 993 / 733
↖ ↑ ↗
← N 74.844928°
W 92.724609°		 ← 2 554.98 m → N 74.844928°
W 92.636719°		 →
↑
2 556.87 m
↓
↑
2 556.87 m
↓
N 74.821934°
W 92.724609°		 ← 2 558.76 m →
6 537 588 m²		 N 74.821934°
W 92.636719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2425537109375 y=0.1790771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2425537109375 × 212)
    floor (0.2425537109375 × 4096)
    floor (993.5)     		tx = 993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1790771484375 × 212)
    floor (0.1790771484375 × 4096)
    floor (733.5)     		ty = 733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 993 / 733 ti = "12/993/733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/993/733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 993 ÷ 212
    993 ÷ 4096     		x = 0.242431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 733 ÷ 212
    733 ÷ 4096     		y = 0.178955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242431640625 × 2 - 1) × π
    -0.51513671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.61834973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.178955078125 × 2 - 1) × π
    0.64208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.01718473601196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61834973} λ = -1.61834973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01718473601196))-π/2
    2×atan(7.51713240422568)-π/2
    2×1.43854338030645-π/2
    2.87708676061289-1.57079632675     		φ = 1.30629043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61834973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.724609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30629043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.844928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 993 KachelY 733 -1.61834973 1.30629043 -92.724609 74.844928
    Oben rechts KachelX + 1 994 KachelY 733 -1.61681575 1.30629043 -92.636719 74.844928
    Unten links KachelX 993 KachelY + 1 734 -1.61834973 1.30588910 -92.724609 74.821934
    Unten rechts KachelX + 1 994 KachelY + 1 734 -1.61681575 1.30588910 -92.636719 74.821934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30629043-1.30588910) × R
    0.000401330000000089 × 6371000     		dl = 2556.87343000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30629043-1.30588910) × R
    0.000401330000000089 × 6371000     		dr = 2556.87343000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61834973--1.61681575) × cos(1.30629043) × R
    0.00153398000000005 × 0.261432380900022 × 6371000     		do = 2554.97515011344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61834973--1.61681575) × cos(1.30588910) × R
    0.00153398000000005 × 0.261819732298016 × 6371000     		du = 2558.76073012778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30629043)-sin(1.30588910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.261432380900022-0.261819732298016)×R²
    abs(-1.61681575--1.61834973)×0.000387351397993785×R²
    0.00153398000000005×0.000387351397993785×6371000²
    0.00153398000000005×0.000387351397993785×40589641000000     		ar = 6537587.78786881m²