Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99297 / 33951
↖ ↑ ↗
← N 65.184183°
E 92.727356°		 ← 128.16 m → N 65.184183°
E 92.730102°		 →
↑
128.18 m
↓
↑
128.18 m
↓
N 65.183030°
E 92.727356°		 ← 128.17 m →
16 429 m²		 N 65.183030°
E 92.730102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.757579803466797 y=0.259029388427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.757579803466797 × 217)
    floor (0.757579803466797 × 131072)
    floor (99297.5)     		tx = 99297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259029388427734 × 217)
    floor (0.259029388427734 × 131072)
    floor (33951.5)     		ty = 33951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99297 / 33951 ti = "17/99297/33951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99297/33951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99297 ÷ 217
    99297 ÷ 131072     		x = 0.757575988769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33951 ÷ 217
    33951 ÷ 131072     		y = 0.259025573730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.757575988769531 × 2 - 1) × π
    0.515151977539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.61839767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259025573730469 × 2 - 1) × π
    0.481948852539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.51408697449947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61839767} λ = 1.61839767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51408697449947))-π/2
    2×atan(4.54526928500136)-π/2
    2×1.35423746882898-π/2
    2.70847493765797-1.57079632675     		φ = 1.13767861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61839767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.727356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13767861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.184183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99297 KachelY 33951 1.61839767 1.13767861 92.727356 65.184183
    Oben rechts KachelX + 1 99298 KachelY 33951 1.61844560 1.13767861 92.730102 65.184183
    Unten links KachelX 99297 KachelY + 1 33952 1.61839767 1.13765849 92.727356 65.183030
    Unten rechts KachelX + 1 99298 KachelY + 1 33952 1.61844560 1.13765849 92.730102 65.183030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13767861-1.13765849) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dl = 128.184520000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13767861-1.13765849) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dr = 128.184520000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61839767-1.61844560) × cos(1.13767861) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.419702669598577 × 6371000     		do = 128.161259185119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61839767-1.61844560) × cos(1.13765849) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.419720931666003 × 6371000     		du = 128.166835727101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13767861)-sin(1.13765849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419702669598577-0.419720931666003)×R²
    abs(1.61844560-1.61839767)×1.8262067426611e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.8262067426611e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.8262067426611e-05×40589641000000     		ar = 16428.6469049874m²