Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99275 / 33955
↖ ↑ ↗
← N 65.179572°
E 92.666931°		 ← 128.18 m → N 65.179572°
E 92.669678°		 →
↑
128.25 m
↓
↑
128.25 m
↓
N 65.178418°
E 92.666931°		 ← 128.19 m →
16 440 m²		 N 65.178418°
E 92.669678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.757411956787109 y=0.259059906005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.757411956787109 × 217)
    floor (0.757411956787109 × 131072)
    floor (99275.5)     		tx = 99275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259059906005859 × 217)
    floor (0.259059906005859 × 131072)
    floor (33955.5)     		ty = 33955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99275 / 33955 ti = "17/99275/33955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99275/33955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99275 ÷ 217
    99275 ÷ 131072     		x = 0.757408142089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33955 ÷ 217
    33955 ÷ 131072     		y = 0.259056091308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.757408142089844 × 2 - 1) × π
    0.514816284179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.61734306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259056091308594 × 2 - 1) × π
    0.481887817382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.51389522690099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61734306} λ = 1.61734306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51389522690099))-π/2
    2×atan(4.54439782408445)-π/2
    2×1.35419722683782-π/2
    2.70839445367564-1.57079632675     		φ = 1.13759813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61734306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.666931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13759813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.179572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99275 KachelY 33955 1.61734306 1.13759813 92.666931 65.179572
    Oben rechts KachelX + 1 99276 KachelY 33955 1.61739099 1.13759813 92.669678 65.179572
    Unten links KachelX 99275 KachelY + 1 33956 1.61734306 1.13757800 92.666931 65.178418
    Unten rechts KachelX + 1 99276 KachelY + 1 33956 1.61739099 1.13757800 92.669678 65.178418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13759813-1.13757800) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dl = 128.248230000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13759813-1.13757800) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dr = 128.248230000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61734306-1.61739099) × cos(1.13759813) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.419775716848799 × 6371000     		do = 128.183565041733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61734306-1.61739099) × cos(1.13757800) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.419793987312739 × 6371000     		du = 128.189144147691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13759813)-sin(1.13757800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419775716848799-0.419793987312739)×R²
    abs(1.61739099-1.61734306)×1.82704639400955e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82704639400955e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82704639400955e-05×40589641000000     		ar = 16439.6730875387m²