Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99201 / 101249
↖ ↑ ↗
← S 69.535478°
E 92.463684°		 ← 106.76 m → S 69.535478°
E 92.466431°		 →
↑
106.78 m
↓
↑
106.78 m
↓
S 69.536438°
E 92.463684°		 ← 106.76 m →
11 400 m²		 S 69.536438°
E 92.466431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.756847381591797 y=0.772472381591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.756847381591797 × 217)
    floor (0.756847381591797 × 131072)
    floor (99201.5)     		tx = 99201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772472381591797 × 217)
    floor (0.772472381591797 × 131072)
    floor (101249.5)     		ty = 101249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99201 / 101249 ti = "17/99201/101249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99201/101249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99201 ÷ 217
    99201 ÷ 131072     		x = 0.756843566894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101249 ÷ 217
    101249 ÷ 131072     		y = 0.772468566894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.756843566894531 × 2 - 1) × π
    0.513687133789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.61379573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772468566894531 × 2 - 1) × π
    -0.544937133789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.71197049613107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61379573} λ = 1.61379573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71197049613107))-π/2
    2×atan(0.180509748179827)-π/2
    2×0.178586644971328-π/2
    0.357173289942655-1.57079632675     		φ = -1.21362304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61379573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.463684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21362304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.535478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99201 KachelY 101249 1.61379573 -1.21362304 92.463684 -69.535478
    Oben rechts KachelX + 1 99202 KachelY 101249 1.61384366 -1.21362304 92.466431 -69.535478
    Unten links KachelX 99201 KachelY + 1 101250 1.61379573 -1.21363980 92.463684 -69.536438
    Unten rechts KachelX + 1 99202 KachelY + 1 101250 1.61384366 -1.21363980 92.466431 -69.536438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21362304--1.21363980) × R
    1.6759999999838e-05 × 6371000     		dl = 106.777959998968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21362304--1.21363980) × R
    1.6759999999838e-05 × 6371000     		dr = 106.777959998968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61379573-1.61384366) × cos(-1.21362304) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.349627317499265 × 6371000     		do = 106.762907414601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61379573-1.61384366) × cos(-1.21363980) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.349611615192842 × 6371000     		du = 106.758112526436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21362304)-sin(-1.21363980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349627317499265-0.349611615192842)×R²
    abs(1.61384366-1.61379573)×1.57023064231154e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.57023064231154e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.57023064231154e-05×40589641000000     		ar = 11399.6694634394m²