Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 992 / 669
↖ ↑ ↗
← S 48.224673°
E168.750000°		 ← 26.044 km → S 48.224673°
E169.101563°		 →
↑
25.984 km
↓
↑
25.984 km
↓
S 48.458352°
E168.750000°		 ← 25.924 km →
675.167 km²		 S 48.458352°
E169.101563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.96923828125 y=0.65380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.96923828125 × 210)
    floor (0.96923828125 × 1024)
    floor (992.5)     		tx = 992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65380859375 × 210)
    floor (0.65380859375 × 1024)
    floor (669.5)     		ty = 669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 992 / 669 ti = "10/992/669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/992/669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 992 ÷ 210
    992 ÷ 1024     		x = 0.96875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 669 ÷ 210
    669 ÷ 1024     		y = 0.6533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.96875 × 2 - 1) × π
    0.9375 × 3.1415926535     		Λ = 2.94524311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6533203125 × 2 - 1) × π
    -0.306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.963339934764648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94524311} λ = 2.94524311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.963339934764648))-π/2
    2×atan(0.381616181954998)-π/2
    2×0.364558504190935-π/2
    0.72911700838187-1.57079632675     		φ = -0.84167932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94524311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84167932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.224673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 992 KachelY 669 2.94524311 -0.84167932 168.750000 -48.224673
    Oben rechts KachelX + 1 993 KachelY 669 2.95137904 -0.84167932 169.101563 -48.224673
    Unten links KachelX 992 KachelY + 1 670 2.94524311 -0.84575779 168.750000 -48.458352
    Unten rechts KachelX + 1 993 KachelY + 1 670 2.95137904 -0.84575779 169.101563 -48.458352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84167932--0.84575779) × R
    0.00407846999999995 × 6371000     		dl = 25983.9323699996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84167932--0.84575779) × R
    0.00407846999999995 × 6371000     		dr = 25983.9323699996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94524311-2.95137904) × cos(-0.84167932) × R
    0.00613593000000012 × 0.666211391183872 × 6371000     		do = 26043.5423862607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94524311-2.95137904) × cos(-0.84575779) × R
    0.00613593000000012 × 0.663164286939641 × 6371000     		du = 25924.4249565828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84167932)-sin(-0.84575779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666211391183872-0.663164286939641)×R²
    abs(2.95137904-2.94524311)×0.00304710424423049×R²
    0.00613593000000012×0.00304710424423049×6371000²
    0.00613593000000012×0.00304710424423049×40589641000000     		ar = 675167010.311024m²