Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99199 / 101248
↖ ↑ ↗
← S 69.534518°
E 92.458191°		 ← 106.79 m → S 69.534518°
E 92.460938°		 →
↑
106.78 m
↓
↑
106.78 m
↓
S 69.535478°
E 92.458191°		 ← 106.79 m →
11 403 m²		 S 69.535478°
E 92.460938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.756832122802734 y=0.772464752197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.756832122802734 × 217)
    floor (0.756832122802734 × 131072)
    floor (99199.5)     		tx = 99199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772464752197266 × 217)
    floor (0.772464752197266 × 131072)
    floor (101248.5)     		ty = 101248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99199 / 101248 ti = "17/99199/101248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99199/101248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99199 ÷ 217
    99199 ÷ 131072     		x = 0.756828308105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101248 ÷ 217
    101248 ÷ 131072     		y = 0.7724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.756828308105469 × 2 - 1) × π
    0.513656616210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.61369985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7724609375 × 2 - 1) × π
    -0.544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71192255923145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61369985} λ = 1.61369985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71192255923145))-π/2
    2×atan(0.18051840146491)-π/2
    2×0.178595025184392-π/2
    0.357190050368785-1.57079632675     		φ = -1.21360628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61369985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.458191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21360628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.534518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99199 KachelY 101248 1.61369985 -1.21360628 92.458191 -69.534518
    Oben rechts KachelX + 1 99200 KachelY 101248 1.61374779 -1.21360628 92.460938 -69.534518
    Unten links KachelX 99199 KachelY + 1 101249 1.61369985 -1.21362304 92.458191 -69.535478
    Unten rechts KachelX + 1 99200 KachelY + 1 101249 1.61374779 -1.21362304 92.460938 -69.535478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21360628--1.21362304) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dl = 106.777960000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21360628--1.21362304) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dr = 106.777960000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61369985-1.61374779) × cos(-1.21360628) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349643019707478 × 6371000     		do = 106.789978029921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61369985-1.61374779) × cos(-1.21362304) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349627317499265 × 6371000     		du = 106.785182171358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21360628)-sin(-1.21362304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349643019707478-0.349627317499265)×R²
    abs(1.61374779-1.61369985)×1.57022082137859e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57022082137859e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57022082137859e-05×40589641000000     		ar = 11402.5599566847m²