Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99171 / 100486
↖ ↑ ↗
← S 68.790106°
E 92.381287°		 ← 110.50 m → S 68.790106°
E 92.384033°		 →
↑
110.54 m
↓
↑
110.54 m
↓
S 68.791101°
E 92.381287°		 ← 110.49 m →
12 214 m²		 S 68.791101°
E 92.384033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.756618499755859 y=0.766651153564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.756618499755859 × 217)
    floor (0.756618499755859 × 131072)
    floor (99171.5)     		tx = 99171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766651153564453 × 217)
    floor (0.766651153564453 × 131072)
    floor (100486.5)     		ty = 100486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99171 / 100486 ti = "17/99171/100486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99171/100486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99171 ÷ 217
    99171 ÷ 131072     		x = 0.756614685058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100486 ÷ 217
    100486 ÷ 131072     		y = 0.766647338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.756614685058594 × 2 - 1) × π
    0.513229370117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.61235762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766647338867188 × 2 - 1) × π
    -0.533294677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67539464172096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61235762} λ = 1.61235762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67539464172096))-π/2
    2×atan(0.187234274443621)-π/2
    2×0.185091236730518-π/2
    0.370182473461035-1.57079632675     		φ = -1.20061385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61235762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.381287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20061385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.790106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99171 KachelY 100486 1.61235762 -1.20061385 92.381287 -68.790106
    Oben rechts KachelX + 1 99172 KachelY 100486 1.61240556 -1.20061385 92.384033 -68.790106
    Unten links KachelX 99171 KachelY + 1 100487 1.61235762 -1.20063120 92.381287 -68.791101
    Unten rechts KachelX + 1 99172 KachelY + 1 100487 1.61240556 -1.20063120 92.384033 -68.791101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20061385--1.20063120) × R
    1.7349999999805e-05 × 6371000     		dl = 110.536849998758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20061385--1.20063120) × R
    1.7349999999805e-05 × 6371000     		dr = 110.536849998758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61235762-1.61240556) × cos(-1.20061385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361785554049343 × 6371000     		do = 110.498620566758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61235762-1.61240556) × cos(-1.20063120) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361769379260578 × 6371000     		du = 110.49368036993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20061385)-sin(-1.20063120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361785554049343-0.361769379260578)×R²
    abs(1.61240556-1.61235762)×1.61747887643116e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61747887643116e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61747887643116e-05×40589641000000     		ar = 12213.8964102347m²