Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99151 / 100505
↖ ↑ ↗
← S 68.808979°
E 92.326355°		 ← 110.40 m → S 68.808979°
E 92.329102°		 →
↑
110.41 m
↓
↑
110.41 m
↓
S 68.809971°
E 92.326355°		 ← 110.40 m →
12 189 m²		 S 68.809971°
E 92.329102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.756465911865234 y=0.766796112060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.756465911865234 × 217)
    floor (0.756465911865234 × 131072)
    floor (99151.5)     		tx = 99151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766796112060547 × 217)
    floor (0.766796112060547 × 131072)
    floor (100505.5)     		ty = 100505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99151 / 100505 ti = "17/99151/100505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99151/100505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99151 ÷ 217
    99151 ÷ 131072     		x = 0.756462097167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100505 ÷ 217
    100505 ÷ 131072     		y = 0.766792297363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.756462097167969 × 2 - 1) × π
    0.512924194335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.61139888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766792297363281 × 2 - 1) × π
    -0.533584594726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.67630544281374
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61139888} λ = 1.61139888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67630544281374))-π/2
    2×atan(0.187063818899183)-π/2
    2×0.184926549324238-π/2
    0.369853098648477-1.57079632675     		φ = -1.20094323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61139888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.326355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20094323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.808979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99151 KachelY 100505 1.61139888 -1.20094323 92.326355 -68.808979
    Oben rechts KachelX + 1 99152 KachelY 100505 1.61144682 -1.20094323 92.329102 -68.808979
    Unten links KachelX 99151 KachelY + 1 100506 1.61139888 -1.20096056 92.326355 -68.809971
    Unten rechts KachelX + 1 99152 KachelY + 1 100506 1.61144682 -1.20096056 92.329102 -68.809971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20094323--1.20096056) × R
    1.73299999999266e-05 × 6371000     		dl = 110.409429999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20094323--1.20096056) × R
    1.73299999999266e-05 × 6371000     		dr = 110.409429999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61139888-1.61144682) × cos(-1.20094323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361478466188249 × 6371000     		do = 110.404828029539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61139888-1.61144682) × cos(-1.20096056) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361462307980632 × 6371000     		du = 110.39989289702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20094323)-sin(-1.20096056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361478466188249-0.361462307980632)×R²
    abs(1.61144682-1.61139888)×1.61582076176892e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61582076176892e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61582076176892e-05×40589641000000     		ar = 12189.4616896069m²