Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99148 / 100481
↖ ↑ ↗
← S 68.785138°
E 92.318115°		 ← 110.52 m → S 68.785138°
E 92.320862°		 →
↑
110.54 m
↓
↑
110.54 m
↓
S 68.786132°
E 92.318115°		 ← 110.52 m →
12 217 m²		 S 68.786132°
E 92.320862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.756443023681641 y=0.766613006591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.756443023681641 × 217)
    floor (0.756443023681641 × 131072)
    floor (99148.5)     		tx = 99148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766613006591797 × 217)
    floor (0.766613006591797 × 131072)
    floor (100481.5)     		ty = 100481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99148 / 100481 ti = "17/99148/100481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99148/100481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99148 ÷ 217
    99148 ÷ 131072     		x = 0.756439208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100481 ÷ 217
    100481 ÷ 131072     		y = 0.766609191894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.756439208984375 × 2 - 1) × π
    0.51287841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.61125507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766609191894531 × 2 - 1) × π
    -0.533218383789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.67515495722286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61125507} λ = 1.61125507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67515495722286))-π/2
    2×atan(0.187279156975327)-π/2
    2×0.185134598768975-π/2
    0.370269197537949-1.57079632675     		φ = -1.20052713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61125507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.318115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20052713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.785138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99148 KachelY 100481 1.61125507 -1.20052713 92.318115 -68.785138
    Oben rechts KachelX + 1 99149 KachelY 100481 1.61130301 -1.20052713 92.320862 -68.785138
    Unten links KachelX 99148 KachelY + 1 100482 1.61125507 -1.20054448 92.318115 -68.786132
    Unten rechts KachelX + 1 99149 KachelY + 1 100482 1.61130301 -1.20054448 92.320862 -68.786132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20052713--1.20054448) × R
    1.73500000000271e-05 × 6371000     		dl = 110.536850000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20052713--1.20054448) × R
    1.73500000000271e-05 × 6371000     		dr = 110.536850000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61125507-1.61130301) × cos(-1.20052713) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.361866398392585 × 6371000     		do = 110.52331251063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61125507-1.61130301) × cos(-1.20054448) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.361850224148209 × 6371000     		du = 110.518372480072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20052713)-sin(-1.20054448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361866398392585-0.361850224148209)×R²
    abs(1.61130301-1.61125507)×1.61742443761659e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.61742443761659e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.61742443761659e-05×40589641000000     		ar = 12216.625789171m²