Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99147 / 100395
↖ ↑ ↗
← S 68.699498°
E 92.315368°		 ← 110.95 m → S 68.699498°
E 92.318115°		 →
↑
110.92 m
↓
↑
110.92 m
↓
S 68.700496°
E 92.315368°		 ← 110.94 m →
12 306 m²		 S 68.700496°
E 92.318115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.756435394287109 y=0.765956878662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.756435394287109 × 217)
    floor (0.756435394287109 × 131072)
    floor (99147.5)     		tx = 99147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765956878662109 × 217)
    floor (0.765956878662109 × 131072)
    floor (100395.5)     		ty = 100395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99147 / 100395 ti = "17/99147/100395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99147/100395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99147 ÷ 217
    99147 ÷ 131072     		x = 0.756431579589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100395 ÷ 217
    100395 ÷ 131072     		y = 0.765953063964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.756431579589844 × 2 - 1) × π
    0.512863159179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.61120713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765953063964844 × 2 - 1) × π
    -0.531906127929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.67103238385554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61120713} λ = 1.61120713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67103238385554))-π/2
    2×atan(0.188052822691223)-π/2
    2×0.185881944054969-π/2
    0.371763888109939-1.57079632675     		φ = -1.19903244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61120713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.315368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19903244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.699498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99147 KachelY 100395 1.61120713 -1.19903244 92.315368 -68.699498
    Oben rechts KachelX + 1 99148 KachelY 100395 1.61125507 -1.19903244 92.318115 -68.699498
    Unten links KachelX 99147 KachelY + 1 100396 1.61120713 -1.19904985 92.315368 -68.700496
    Unten rechts KachelX + 1 99148 KachelY + 1 100396 1.61125507 -1.19904985 92.318115 -68.700496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19903244--1.19904985) × R
    1.74099999998845e-05 × 6371000     		dl = 110.919109999264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19903244--1.19904985) × R
    1.74099999998845e-05 × 6371000     		dr = 110.919109999264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61120713-1.61125507) × cos(-1.19903244) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363259388459342 × 6371000     		do = 110.948767532069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61120713-1.61125507) × cos(-1.19904985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363243167715393 × 6371000     		du = 110.943813299345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19903244)-sin(-1.19904985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363259388459342-0.363243167715393)×R²
    abs(1.61125507-1.61120713)×1.62207439486362e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62207439486362e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62207439486362e-05×40589641000000     		ar = 12306.0637910251m²