Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99145 / 100504
↖ ↑ ↗
← S 68.807986°
E 92.309876°		 ← 110.41 m → S 68.807986°
E 92.312622°		 →
↑
110.41 m
↓
↑
110.41 m
↓
S 68.808979°
E 92.309876°		 ← 110.40 m →
12 190 m²		 S 68.808979°
E 92.312622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.756420135498047 y=0.766788482666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.756420135498047 × 217)
    floor (0.756420135498047 × 131072)
    floor (99145.5)     		tx = 99145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766788482666016 × 217)
    floor (0.766788482666016 × 131072)
    floor (100504.5)     		ty = 100504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99145 / 100504 ti = "17/99145/100504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99145/100504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99145 ÷ 217
    99145 ÷ 131072     		x = 0.756416320800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100504 ÷ 217
    100504 ÷ 131072     		y = 0.76678466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.756416320800781 × 2 - 1) × π
    0.512832641601562 × 3.1415926535     		Λ = 1.61111126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76678466796875 × 2 - 1) × π
    -0.5335693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67625750591412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61111126} λ = 1.61111126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67625750591412))-π/2
    2×atan(0.187072786373627)-π/2
    2×0.184935213596379-π/2
    0.369870427192758-1.57079632675     		φ = -1.20092590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61111126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.309876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20092590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.807986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99145 KachelY 100504 1.61111126 -1.20092590 92.309876 -68.807986
    Oben rechts KachelX + 1 99146 KachelY 100504 1.61115920 -1.20092590 92.312622 -68.807986
    Unten links KachelX 99145 KachelY + 1 100505 1.61111126 -1.20094323 92.309876 -68.808979
    Unten rechts KachelX + 1 99146 KachelY + 1 100505 1.61115920 -1.20094323 92.312622 -68.808979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20092590--1.20094323) × R
    1.73299999999266e-05 × 6371000     		dl = 110.409429999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20092590--1.20094323) × R
    1.73299999999266e-05 × 6371000     		dr = 110.409429999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61111126-1.61115920) × cos(-1.20092590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361494624287305 × 6371000     		do = 110.4097631289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61111126-1.61115920) × cos(-1.20094323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361478466188249 × 6371000     		du = 110.404828029539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20092590)-sin(-1.20094323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361494624287305-0.361478466188249)×R²
    abs(1.61115920-1.61111126)×1.61580990552523e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61580990552523e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61580990552523e-05×40589641000000     		ar = 12190.0065729195m²