Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99125 / 100520
↖ ↑ ↗
← S 68.823866°
E 92.254944°		 ← 110.33 m → S 68.823866°
E 92.257691°		 →
↑
110.35 m
↓
↑
110.35 m
↓
S 68.824858°
E 92.254944°		 ← 110.33 m →
12 174 m²		 S 68.824858°
E 92.257691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.756267547607422 y=0.766910552978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.756267547607422 × 217)
    floor (0.756267547607422 × 131072)
    floor (99125.5)     		tx = 99125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766910552978516 × 217)
    floor (0.766910552978516 × 131072)
    floor (100520.5)     		ty = 100520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99125 / 100520 ti = "17/99125/100520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99125/100520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99125 ÷ 217
    99125 ÷ 131072     		x = 0.756263732910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100520 ÷ 217
    100520 ÷ 131072     		y = 0.76690673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.756263732910156 × 2 - 1) × π
    0.512527465820312 × 3.1415926535     		Λ = 1.61015252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76690673828125 × 2 - 1) × π
    -0.5338134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67702449630804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61015252} λ = 1.61015252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67702449630804))-π/2
    2×atan(0.186929358354502)-π/2
    2×0.18479663170326-π/2
    0.369593263406521-1.57079632675     		φ = -1.20120306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61015252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.254944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20120306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.823866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99125 KachelY 100520 1.61015252 -1.20120306 92.254944 -68.823866
    Oben rechts KachelX + 1 99126 KachelY 100520 1.61020046 -1.20120306 92.257691 -68.823866
    Unten links KachelX 99125 KachelY + 1 100521 1.61015252 -1.20122038 92.254944 -68.824858
    Unten rechts KachelX + 1 99126 KachelY + 1 100521 1.61020046 -1.20122038 92.257691 -68.824858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20120306--1.20122038) × R
    1.73199999999873e-05 × 6371000     		dl = 110.345719999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20120306--1.20122038) × R
    1.73199999999873e-05 × 6371000     		dr = 110.345719999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61015252-1.61020046) × cos(-1.20120306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36123619357457 × 6371000     		do = 110.330831737224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61015252-1.61020046) × cos(-1.20122038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361220043064655 × 6371000     		du = 110.325898955782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20120306)-sin(-1.20122038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36123619357457-0.361220043064655)×R²
    abs(1.61020046-1.61015252)×1.61505099145476e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61505099145476e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61505099145476e-05×40589641000000     		ar = 12174.2629107478m²