Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99111 / 100514
↖ ↑ ↗
← S 68.817912°
E 92.216491°		 ← 110.36 m → S 68.817912°
E 92.219238°		 →
↑
110.35 m
↓
↑
110.35 m
↓
S 68.818904°
E 92.216491°		 ← 110.36 m →
12 178 m²		 S 68.818904°
E 92.219238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.756160736083984 y=0.766864776611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.756160736083984 × 217)
    floor (0.756160736083984 × 131072)
    floor (99111.5)     		tx = 99111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766864776611328 × 217)
    floor (0.766864776611328 × 131072)
    floor (100514.5)     		ty = 100514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99111 / 100514 ti = "17/99111/100514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99111/100514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99111 ÷ 217
    99111 ÷ 131072     		x = 0.756156921386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100514 ÷ 217
    100514 ÷ 131072     		y = 0.766860961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.756156921386719 × 2 - 1) × π
    0.512313842773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.60948140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766860961914062 × 2 - 1) × π
    -0.533721923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67673687491032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60948140} λ = 1.60948140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67673687491032))-π/2
    2×atan(0.186983130970534)-π/2
    2×0.184848588299221-π/2
    0.369697176598442-1.57079632675     		φ = -1.20109915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60948140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.216491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20109915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.817912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99111 KachelY 100514 1.60948140 -1.20109915 92.216491 -68.817912
    Oben rechts KachelX + 1 99112 KachelY 100514 1.60952934 -1.20109915 92.219238 -68.817912
    Unten links KachelX 99111 KachelY + 1 100515 1.60948140 -1.20111647 92.216491 -68.818904
    Unten rechts KachelX + 1 99112 KachelY + 1 100515 1.60952934 -1.20111647 92.219238 -68.818904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20109915--1.20111647) × R
    1.73200000002094e-05 × 6371000     		dl = 110.345720001334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20109915--1.20111647) × R
    1.73200000002094e-05 × 6371000     		dr = 110.345720001334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60948140-1.60952934) × cos(-1.20109915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361333085033865 × 6371000     		do = 110.360424882879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60948140-1.60952934) × cos(-1.20111647) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361316935174148 × 6371000     		du = 110.355492300024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20109915)-sin(-1.20111647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361333085033865-0.361316935174148)×R²
    abs(1.60952934-1.60948140)×1.61498597176513e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61498597176513e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61498597176513e-05×40589641000000     		ar = 12177.5283991238m²