Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99100 / 100508
↖ ↑ ↗
← S 68.811957°
E 92.186279°		 ← 110.39 m → S 68.811957°
E 92.189026°		 →
↑
110.35 m
↓
↑
110.35 m
↓
S 68.812949°
E 92.186279°		 ← 110.39 m →
12 181 m²		 S 68.812949°
E 92.189026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.756076812744141 y=0.766819000244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.756076812744141 × 217)
    floor (0.756076812744141 × 131072)
    floor (99100.5)     		tx = 99100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766819000244141 × 217)
    floor (0.766819000244141 × 131072)
    floor (100508.5)     		ty = 100508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99100 / 100508 ti = "17/99100/100508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99100/100508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99100 ÷ 217
    99100 ÷ 131072     		x = 0.756072998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100508 ÷ 217
    100508 ÷ 131072     		y = 0.766815185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.756072998046875 × 2 - 1) × π
    0.51214599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.60895410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766815185546875 × 2 - 1) × π
    -0.53363037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6764492535126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60895410} λ = 1.60895410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6764492535126))-π/2
    2×atan(0.187036919054945)-π/2
    2×0.184900558831226-π/2
    0.369801117662453-1.57079632675     		φ = -1.20099521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60895410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.186279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20099521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.811957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99100 KachelY 100508 1.60895410 -1.20099521 92.186279 -68.811957
    Oben rechts KachelX + 1 99101 KachelY 100508 1.60900204 -1.20099521 92.189026 -68.811957
    Unten links KachelX 99100 KachelY + 1 100509 1.60895410 -1.20101253 92.186279 -68.812949
    Unten rechts KachelX + 1 99101 KachelY + 1 100509 1.60900204 -1.20101253 92.189026 -68.812949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20099521--1.20101253) × R
    1.73199999999873e-05 × 6371000     		dl = 110.345719999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20099521--1.20101253) × R
    1.73199999999873e-05 × 6371000     		dr = 110.345719999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60895410-1.60900204) × cos(-1.20099521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361430000563721 × 6371000     		do = 110.390025380302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60895410-1.60900204) × cos(-1.20101253) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.361413851354562 × 6371000     		du = 110.385092996145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20099521)-sin(-1.20101253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361430000563721-0.361413851354562)×R²
    abs(1.60900204-1.60895410)×1.61492091581561e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61492091581561e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61492091581561e-05×40589641000000     		ar = 12180.7946978459m²