Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 991 / 1364
↖ ↑ ↗
← N 75.973553°
W136.450195°		 ← 1 184.34 m → N 75.973553°
W136.406250°		 →
↑
1 184.75 m
↓
↑
1 184.75 m
↓
N 75.962898°
W136.450195°		 ← 1 185.22 m →
1 403 668 m²		 N 75.962898°
W136.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12103271484375 y=0.16656494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12103271484375 × 213)
    floor (0.12103271484375 × 8192)
    floor (991.5)     		tx = 991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16656494140625 × 213)
    floor (0.16656494140625 × 8192)
    floor (1364.5)     		ty = 1364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 991 / 1364 ti = "13/991/1364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/991/1364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 991 ÷ 213
    991 ÷ 8192     		x = 0.1209716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1364 ÷ 213
    1364 ÷ 8192     		y = 0.16650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1209716796875 × 2 - 1) × π
    -0.758056640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.38150517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16650390625 × 2 - 1) × π
    0.6669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09541775619189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38150517} λ = -2.38150517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09541775619189))-π/2
    2×atan(8.12883613261549)-π/2
    2×1.44839248512803-π/2
    2.89678497025606-1.57079632675     		φ = 1.32598864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38150517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.450195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32598864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.973553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 991 KachelY 1364 -2.38150517 1.32598864 -136.450195 75.973553
    Oben rechts KachelX + 1 992 KachelY 1364 -2.38073818 1.32598864 -136.406250 75.973553
    Unten links KachelX 991 KachelY + 1 1365 -2.38150517 1.32580268 -136.450195 75.962898
    Unten rechts KachelX + 1 992 KachelY + 1 1365 -2.38073818 1.32580268 -136.406250 75.962898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32598864-1.32580268) × R
    0.000185960000000041 × 6371000     		dl = 1184.75116000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32598864-1.32580268) × R
    0.000185960000000041 × 6371000     		dr = 1184.75116000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38150517--2.38073818) × cos(1.32598864) × R
    0.000766990000000245 × 0.24236975008597 × 6371000     		do = 1184.33815749445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38150517--2.38073818) × cos(1.32580268) × R
    0.000766990000000245 × 0.242550161302273 × 6371000     		du = 1185.21973569235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32598864)-sin(1.32580268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24236975008597-0.242550161302273)×R²
    abs(-2.38073818--2.38150517)×0.000180411216303078×R²
    0.000766990000000245×0.000180411216303078×6371000²
    0.000766990000000245×0.000180411216303078×40589641000000     		ar = 1403668.23536754m²