Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99086 / 100562
↖ ↑ ↗
← S 68.865498°
E 92.147827°		 ← 110.12 m → S 68.865498°
E 92.150574°		 →
↑
110.09 m
↓
↑
110.09 m
↓
S 68.866488°
E 92.147827°		 ← 110.12 m →
12 123 m²		 S 68.866488°
E 92.150574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755970001220703 y=0.767230987548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755970001220703 × 217)
    floor (0.755970001220703 × 131072)
    floor (99086.5)     		tx = 99086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767230987548828 × 217)
    floor (0.767230987548828 × 131072)
    floor (100562.5)     		ty = 100562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99086 / 100562 ti = "17/99086/100562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99086/100562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99086 ÷ 217
    99086 ÷ 131072     		x = 0.755966186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100562 ÷ 217
    100562 ÷ 131072     		y = 0.767227172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755966186523438 × 2 - 1) × π
    0.511932373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60828298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767227172851562 × 2 - 1) × π
    -0.534454345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67903784609209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60828298} λ = 1.60828298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67903784609209))-π/2
    2×atan(0.186553382783399)-π/2
    2×0.184433325474022-π/2
    0.368866650948044-1.57079632675     		φ = -1.20192968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60828298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.147827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20192968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.865498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99086 KachelY 100562 1.60828298 -1.20192968 92.147827 -68.865498
    Oben rechts KachelX + 1 99087 KachelY 100562 1.60833092 -1.20192968 92.150574 -68.865498
    Unten links KachelX 99086 KachelY + 1 100563 1.60828298 -1.20194696 92.147827 -68.866488
    Unten rechts KachelX + 1 99087 KachelY + 1 100563 1.60833092 -1.20194696 92.150574 -68.866488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20192968--1.20194696) × R
    1.72800000000084e-05 × 6371000     		dl = 110.090880000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20192968--1.20194696) × R
    1.72800000000084e-05 × 6371000     		dr = 110.090880000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60828298-1.60833092) × cos(-1.20192968) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360558543760239 × 6371000     		do = 110.123860041221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60828298-1.60833092) × cos(-1.20194696) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360542426018224 × 6371000     		du = 110.118937267939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20192968)-sin(-1.20194696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360558543760239-0.360542426018224)×R²
    abs(1.60833092-1.60828298)×1.61177420147096e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61177420147096e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61177420147096e-05×40589641000000     		ar = 12123.3616849501m²