Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99082 / 100570
↖ ↑ ↗
← S 68.873419°
E 92.136841°		 ← 110.08 m → S 68.873419°
E 92.139587°		 →
↑
110.09 m
↓
↑
110.09 m
↓
S 68.874409°
E 92.136841°		 ← 110.08 m →
12 119 m²		 S 68.874409°
E 92.139587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755939483642578 y=0.767292022705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755939483642578 × 217)
    floor (0.755939483642578 × 131072)
    floor (99082.5)     		tx = 99082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767292022705078 × 217)
    floor (0.767292022705078 × 131072)
    floor (100570.5)     		ty = 100570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99082 / 100570 ti = "17/99082/100570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99082/100570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99082 ÷ 217
    99082 ÷ 131072     		x = 0.755935668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100570 ÷ 217
    100570 ÷ 131072     		y = 0.767288208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755935668945312 × 2 - 1) × π
    0.511871337890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.60809123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767288208007812 × 2 - 1) × π
    -0.534576416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67942134128905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60809123} λ = 1.60809123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67942134128905))-π/2
    2×atan(0.186481854173441)-π/2
    2×0.184364201602164-π/2
    0.368728403204327-1.57079632675     		φ = -1.20206792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60809123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.136841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20206792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.873419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99082 KachelY 100570 1.60809123 -1.20206792 92.136841 -68.873419
    Oben rechts KachelX + 1 99083 KachelY 100570 1.60813917 -1.20206792 92.139587 -68.873419
    Unten links KachelX 99082 KachelY + 1 100571 1.60809123 -1.20208520 92.136841 -68.874409
    Unten rechts KachelX + 1 99083 KachelY + 1 100571 1.60813917 -1.20208520 92.139587 -68.874409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20206792--1.20208520) × R
    1.72800000000084e-05 × 6371000     		dl = 110.090880000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20206792--1.20208520) × R
    1.72800000000084e-05 × 6371000     		dr = 110.090880000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60809123-1.60813917) × cos(-1.20206792) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360429598809984 × 6371000     		do = 110.08447693437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60809123-1.60813917) × cos(-1.20208520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360413480206845 × 6371000     		du = 110.079553898079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20206792)-sin(-1.20208520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360429598809984-0.360413480206845)×R²
    abs(1.60813917-1.60809123)×1.61186031390481e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61186031390481e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61186031390481e-05×40589641000000     		ar = 12119.0259497622m²