Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99065 / 100484
↖ ↑ ↗
← S 68.788119°
E 92.090149°		 ← 110.49 m → S 68.788119°
E 92.092895°		 →
↑
110.47 m
↓
↑
110.47 m
↓
S 68.789113°
E 92.090149°		 ← 110.48 m →
12 205 m²		 S 68.789113°
E 92.092895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755809783935547 y=0.766635894775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755809783935547 × 217)
    floor (0.755809783935547 × 131072)
    floor (99065.5)     		tx = 99065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766635894775391 × 217)
    floor (0.766635894775391 × 131072)
    floor (100484.5)     		ty = 100484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99065 / 100484 ti = "17/99065/100484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99065/100484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99065 ÷ 217
    99065 ÷ 131072     		x = 0.755805969238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100484 ÷ 217
    100484 ÷ 131072     		y = 0.766632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755805969238281 × 2 - 1) × π
    0.511611938476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.60727631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766632080078125 × 2 - 1) × π
    -0.53326416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67529876792172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60727631} λ = 1.60727631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67529876792172))-π/2
    2×atan(0.187252226165396)-π/2
    2×0.185108580383225-π/2
    0.37021716076645-1.57079632675     		φ = -1.20057917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60727631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.090149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20057917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.788119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99065 KachelY 100484 1.60727631 -1.20057917 92.090149 -68.788119
    Oben rechts KachelX + 1 99066 KachelY 100484 1.60732424 -1.20057917 92.092895 -68.788119
    Unten links KachelX 99065 KachelY + 1 100485 1.60727631 -1.20059651 92.090149 -68.789113
    Unten rechts KachelX + 1 99066 KachelY + 1 100485 1.60732424 -1.20059651 92.092895 -68.789113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20057917--1.20059651) × R
    1.73400000000878e-05 × 6371000     		dl = 110.47314000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20057917--1.20059651) × R
    1.73400000000878e-05 × 6371000     		dr = 110.47314000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60727631-1.60732424) × cos(-1.20057917) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.361817884655174 × 6371000     		do = 110.485443748678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60727631-1.60732424) × cos(-1.20059651) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.361801719406651 × 6371000     		du = 110.480507495573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20057917)-sin(-1.20059651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361817884655174-0.361801719406651)×R²
    abs(1.60732424-1.60727631)×1.61652485233255e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61652485233255e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61652485233255e-05×40589641000000     		ar = 12205.4012338402m²