Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99047 / 100645
↖ ↑ ↗
← S 68.947540°
E 92.040710°		 ← 109.72 m → S 68.947540°
E 92.043457°		 →
↑
109.71 m
↓
↑
109.71 m
↓
S 68.948527°
E 92.040710°		 ← 109.71 m →
12 037 m²		 S 68.948527°
E 92.043457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755672454833984 y=0.767864227294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755672454833984 × 217)
    floor (0.755672454833984 × 131072)
    floor (99047.5)     		tx = 99047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767864227294922 × 217)
    floor (0.767864227294922 × 131072)
    floor (100645.5)     		ty = 100645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99047 / 100645 ti = "17/99047/100645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99047/100645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99047 ÷ 217
    99047 ÷ 131072     		x = 0.755668640136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100645 ÷ 217
    100645 ÷ 131072     		y = 0.767860412597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755668640136719 × 2 - 1) × π
    0.511337280273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.60641344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767860412597656 × 2 - 1) × π
    -0.535720825195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.68301660876055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60641344} λ = 1.60641344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68301660876055))-π/2
    2×atan(0.185812605813424)-π/2
    2×0.183717366607421-π/2
    0.367434733214842-1.57079632675     		φ = -1.20336159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60641344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.040710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20336159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.947540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99047 KachelY 100645 1.60641344 -1.20336159 92.040710 -68.947540
    Oben rechts KachelX + 1 99048 KachelY 100645 1.60646138 -1.20336159 92.043457 -68.947540
    Unten links KachelX 99047 KachelY + 1 100646 1.60641344 -1.20337881 92.040710 -68.948527
    Unten rechts KachelX + 1 99048 KachelY + 1 100646 1.60646138 -1.20337881 92.043457 -68.948527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20336159--1.20337881) × R
    1.7219999999929e-05 × 6371000     		dl = 109.708619999547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20336159--1.20337881) × R
    1.7219999999929e-05 × 6371000     		dr = 109.708619999547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60641344-1.60646138) × cos(-1.20336159) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359222579735115 × 6371000     		do = 109.715822240235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60641344-1.60646138) × cos(-1.20337881) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359206509083868 × 6371000     		du = 109.710913849685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20336159)-sin(-1.20337881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359222579735115-0.359206509083868)×R²
    abs(1.60646138-1.60641344)×1.60706512478126e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60706512478126e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60706512478126e-05×40589641000000     		ar = 12036.5022040396m²