Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99045 / 100642
↖ ↑ ↗
← S 68.944580°
E 92.035217°		 ← 109.73 m → S 68.944580°
E 92.037964°		 →
↑
109.71 m
↓
↑
109.71 m
↓
S 68.945567°
E 92.035217°		 ← 109.73 m →
12 038 m²		 S 68.945567°
E 92.037964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755657196044922 y=0.767841339111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755657196044922 × 217)
    floor (0.755657196044922 × 131072)
    floor (99045.5)     		tx = 99045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767841339111328 × 217)
    floor (0.767841339111328 × 131072)
    floor (100642.5)     		ty = 100642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99045 / 100642 ti = "17/99045/100642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99045/100642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99045 ÷ 217
    99045 ÷ 131072     		x = 0.755653381347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100642 ÷ 217
    100642 ÷ 131072     		y = 0.767837524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755653381347656 × 2 - 1) × π
    0.511306762695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.60631757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767837524414062 × 2 - 1) × π
    -0.535675048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68287279806169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60631757} λ = 1.60631757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68287279806169))-π/2
    2×atan(0.185839329575658)-π/2
    2×0.18374319836571-π/2
    0.367486396731421-1.57079632675     		φ = -1.20330993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60631757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.035217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20330993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.944580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99045 KachelY 100642 1.60631757 -1.20330993 92.035217 -68.944580
    Oben rechts KachelX + 1 99046 KachelY 100642 1.60636551 -1.20330993 92.037964 -68.944580
    Unten links KachelX 99045 KachelY + 1 100643 1.60631757 -1.20332715 92.035217 -68.945567
    Unten rechts KachelX + 1 99046 KachelY + 1 100643 1.60636551 -1.20332715 92.037964 -68.945567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20330993--1.20332715) × R
    1.7219999999929e-05 × 6371000     		dl = 109.708619999547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20330993--1.20332715) × R
    1.7219999999929e-05 × 6371000     		dr = 109.708619999547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60631757-1.60636551) × cos(-1.20330993) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359270791049722 × 6371000     		do = 109.730547216675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60631757-1.60636551) × cos(-1.20332715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359254720718047 × 6371000     		du = 109.725638923731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20330993)-sin(-1.20332715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359270791049722-0.359254720718047)×R²
    abs(1.60636551-1.60631757)×1.60703316744448e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60703316744448e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60703316744448e-05×40589641000000     		ar = 12038.1176662094m²