Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99043 / 100650
↖ ↑ ↗
← S 68.952473°
E 92.029724°		 ← 109.67 m → S 68.952473°
E 92.032471°		 →
↑
109.71 m
↓
↑
109.71 m
↓
S 68.953460°
E 92.029724°		 ← 109.66 m →
12 031 m²		 S 68.953460°
E 92.032471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755641937255859 y=0.767902374267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755641937255859 × 217)
    floor (0.755641937255859 × 131072)
    floor (99043.5)     		tx = 99043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767902374267578 × 217)
    floor (0.767902374267578 × 131072)
    floor (100650.5)     		ty = 100650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99043 / 100650 ti = "17/99043/100650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99043/100650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99043 ÷ 217
    99043 ÷ 131072     		x = 0.755638122558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100650 ÷ 217
    100650 ÷ 131072     		y = 0.767898559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755638122558594 × 2 - 1) × π
    0.511276245117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.60622170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767898559570312 × 2 - 1) × π
    -0.535797119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68325629325865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60622170} λ = 1.60622170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68325629325865))-π/2
    2×atan(0.185768074749175)-π/2
    2×0.183674321380497-π/2
    0.367348642760993-1.57079632675     		φ = -1.20344768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60622170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.029724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20344768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.952473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99043 KachelY 100650 1.60622170 -1.20344768 92.029724 -68.952473
    Oben rechts KachelX + 1 99044 KachelY 100650 1.60626963 -1.20344768 92.032471 -68.952473
    Unten links KachelX 99043 KachelY + 1 100651 1.60622170 -1.20346490 92.029724 -68.953460
    Unten rechts KachelX + 1 99044 KachelY + 1 100651 1.60626963 -1.20346490 92.032471 -68.953460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20344768--1.20346490) × R
    1.7219999999929e-05 × 6371000     		dl = 109.708619999547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20344768--1.20346490) × R
    1.7219999999929e-05 × 6371000     		dr = 109.708619999547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60622170-1.60626963) × cos(-1.20344768) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.359142234746603 × 6371000     		do = 109.668401860518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60622170-1.60626963) × cos(-1.20346490) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.35912616356289 × 6371000     		du = 109.663494331235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20344768)-sin(-1.20346490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359142234746603-0.35912616356289)×R²
    abs(1.60626963-1.60622170)×1.60711837129401e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.60711837129401e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.60711837129401e-05×40589641000000     		ar = 12031.2998268814m²