Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99042 / 100648
↖ ↑ ↗
← S 68.950500°
E 92.026978°		 ← 109.70 m → S 68.950500°
E 92.029724°		 →
↑
109.71 m
↓
↑
109.71 m
↓
S 68.951487°
E 92.026978°		 ← 109.70 m →
12 035 m²		 S 68.951487°
E 92.029724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755634307861328 y=0.767887115478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755634307861328 × 217)
    floor (0.755634307861328 × 131072)
    floor (99042.5)     		tx = 99042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767887115478516 × 217)
    floor (0.767887115478516 × 131072)
    floor (100648.5)     		ty = 100648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99042 / 100648 ti = "17/99042/100648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99042/100648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99042 ÷ 217
    99042 ÷ 131072     		x = 0.755630493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100648 ÷ 217
    100648 ÷ 131072     		y = 0.76788330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755630493164062 × 2 - 1) × π
    0.511260986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.60617376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76788330078125 × 2 - 1) × π
    -0.5357666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68316041945941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60617376} λ = 1.60617376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68316041945941))-π/2
    2×atan(0.185785885894076)-π/2
    2×0.183691538315821-π/2
    0.367383076631641-1.57079632675     		φ = -1.20341325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60617376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.026978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20341325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.950500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99042 KachelY 100648 1.60617376 -1.20341325 92.026978 -68.950500
    Oben rechts KachelX + 1 99043 KachelY 100648 1.60622170 -1.20341325 92.029724 -68.950500
    Unten links KachelX 99042 KachelY + 1 100649 1.60617376 -1.20343047 92.026978 -68.951487
    Unten rechts KachelX + 1 99043 KachelY + 1 100649 1.60622170 -1.20343047 92.029724 -68.951487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20341325--1.20343047) × R
    1.7219999999929e-05 × 6371000     		dl = 109.708619999547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20341325--1.20343047) × R
    1.7219999999929e-05 × 6371000     		dr = 109.708619999547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60617376-1.60622170) × cos(-1.20341325) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.359174367461832 × 6371000     		do = 109.701096971498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60617376-1.60622170) × cos(-1.20343047) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.359158296491053 × 6371000     		du = 109.696188483356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20341325)-sin(-1.20343047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359174367461832-0.359158296491053)×R²
    abs(1.60622170-1.60617376)×1.60709707782702e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.60709707782702e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.60709707782702e-05×40589641000000     		ar = 12034.8867097362m²