Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99039 / 100651
↖ ↑ ↗
← S 68.953460°
E 92.018738°		 ← 109.66 m → S 68.953460°
E 92.021484°		 →
↑
109.64 m
↓
↑
109.64 m
↓
S 68.954446°
E 92.018738°		 ← 109.66 m →
12 024 m²		 S 68.954446°
E 92.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755611419677734 y=0.767910003662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755611419677734 × 217)
    floor (0.755611419677734 × 131072)
    floor (99039.5)     		tx = 99039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767910003662109 × 217)
    floor (0.767910003662109 × 131072)
    floor (100651.5)     		ty = 100651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99039 / 100651 ti = "17/99039/100651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99039/100651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99039 ÷ 217
    99039 ÷ 131072     		x = 0.755607604980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100651 ÷ 217
    100651 ÷ 131072     		y = 0.767906188964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755607604980469 × 2 - 1) × π
    0.511215209960938 × 3.1415926535     		Λ = 1.60602995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767906188964844 × 2 - 1) × π
    -0.535812377929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.68330423015827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60602995} λ = 1.60602995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68330423015827))-π/2
    2×atan(0.185759169817062)-π/2
    2×0.183665713490513-π/2
    0.367331426981027-1.57079632675     		φ = -1.20346490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60602995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.018738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20346490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.953460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99039 KachelY 100651 1.60602995 -1.20346490 92.018738 -68.953460
    Oben rechts KachelX + 1 99040 KachelY 100651 1.60607788 -1.20346490 92.021484 -68.953460
    Unten links KachelX 99039 KachelY + 1 100652 1.60602995 -1.20348211 92.018738 -68.954446
    Unten rechts KachelX + 1 99040 KachelY + 1 100652 1.60607788 -1.20348211 92.021484 -68.954446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20346490--1.20348211) × R
    1.72099999999897e-05 × 6371000     		dl = 109.644909999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20346490--1.20348211) × R
    1.72099999999897e-05 × 6371000     		dr = 109.644909999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60602995-1.60607788) × cos(-1.20346490) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.35912616356289 × 6371000     		do = 109.663494331743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60602995-1.60607788) × cos(-1.20348211) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.359110101605638 × 6371000     		du = 109.658589619871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20346490)-sin(-1.20348211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35912616356289-0.359110101605638)×R²
    abs(1.60607788-1.60602995)×1.60619572521226e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60619572521226e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60619572521226e-05×40589641000000     		ar = 12023.7750781584m²