Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99029 / 100551
↖ ↑ ↗
← S 68.854601°
E 91.991272°		 ← 110.18 m → S 68.854601°
E 91.994019°		 →
↑
110.22 m
↓
↑
110.22 m
↓
S 68.855593°
E 91.991272°		 ← 110.17 m →
12 143 m²		 S 68.855593°
E 91.994019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755535125732422 y=0.767147064208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755535125732422 × 217)
    floor (0.755535125732422 × 131072)
    floor (99029.5)     		tx = 99029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767147064208984 × 217)
    floor (0.767147064208984 × 131072)
    floor (100551.5)     		ty = 100551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99029 / 100551 ti = "17/99029/100551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99029/100551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99029 ÷ 217
    99029 ÷ 131072     		x = 0.755531311035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100551 ÷ 217
    100551 ÷ 131072     		y = 0.767143249511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755531311035156 × 2 - 1) × π
    0.511062622070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.60555058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767143249511719 × 2 - 1) × π
    -0.534286499023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.67851054019627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60555058} λ = 1.60555058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67851054019627))-π/2
    2×atan(0.18665177942231)-π/2
    2×0.184528411178868-π/2
    0.369056822357736-1.57079632675     		φ = -1.20173950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60555058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.991272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20173950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.854601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99029 KachelY 100551 1.60555058 -1.20173950 91.991272 -68.854601
    Oben rechts KachelX + 1 99030 KachelY 100551 1.60559852 -1.20173950 91.994019 -68.854601
    Unten links KachelX 99029 KachelY + 1 100552 1.60555058 -1.20175680 91.991272 -68.855593
    Unten rechts KachelX + 1 99030 KachelY + 1 100552 1.60559852 -1.20175680 91.994019 -68.855593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20173950--1.20175680) × R
    1.73000000001089e-05 × 6371000     		dl = 110.218300000694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20173950--1.20175680) × R
    1.73000000001089e-05 × 6371000     		dr = 110.218300000694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60555058-1.60559852) × cos(-1.20173950) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360735925082438 × 6371000     		do = 110.178036862816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60555058-1.60559852) × cos(-1.20175680) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360719789872111 × 6371000     		du = 110.173108754262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20173950)-sin(-1.20175680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360735925082438-0.360719789872111)×R²
    abs(1.60559852-1.60555058)×1.61352103271728e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61352103271728e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61352103271728e-05×40589641000000     		ar = 12143.3643368546m²