Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99027 / 100432
↖ ↑ ↗
← S 68.736384°
E 91.985779°		 ← 110.74 m → S 68.736384°
E 91.988525°		 →
↑
110.73 m
↓
↑
110.73 m
↓
S 68.737379°
E 91.985779°		 ← 110.74 m →
12 262 m²		 S 68.737379°
E 91.988525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755519866943359 y=0.766239166259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755519866943359 × 217)
    floor (0.755519866943359 × 131072)
    floor (99027.5)     		tx = 99027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766239166259766 × 217)
    floor (0.766239166259766 × 131072)
    floor (100432.5)     		ty = 100432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99027 / 100432 ti = "17/99027/100432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99027/100432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99027 ÷ 217
    99027 ÷ 131072     		x = 0.755516052246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100432 ÷ 217
    100432 ÷ 131072     		y = 0.7662353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755516052246094 × 2 - 1) × π
    0.511032104492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.60545471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7662353515625 × 2 - 1) × π
    -0.532470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67280604914148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60545471} λ = 1.60545471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67280604914148))-π/2
    2×atan(0.187719575549499)-π/2
    2×0.18556005982313-π/2
    0.37112011964626-1.57079632675     		φ = -1.19967621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60545471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.985779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19967621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.736384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99027 KachelY 100432 1.60545471 -1.19967621 91.985779 -68.736384
    Oben rechts KachelX + 1 99028 KachelY 100432 1.60550264 -1.19967621 91.988525 -68.736384
    Unten links KachelX 99027 KachelY + 1 100433 1.60545471 -1.19969359 91.985779 -68.737379
    Unten rechts KachelX + 1 99028 KachelY + 1 100433 1.60550264 -1.19969359 91.988525 -68.737379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19967621--1.19969359) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dl = 110.727980000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19967621--1.19969359) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dr = 110.727980000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60545471-1.60550264) × cos(-1.19967621) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362659520412259 × 6371000     		do = 110.742447351982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60545471-1.60550264) × cos(-1.19969359) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.362643323558179 × 6371000     		du = 110.73750144774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19967621)-sin(-1.19969359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362659520412259-0.362643323558179)×R²
    abs(1.60550264-1.60545471)×1.61968540800528e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61968540800528e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61968540800528e-05×40589641000000     		ar = 12262.0136709824m²