Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99025 / 100434
↖ ↑ ↗
← S 68.738376°
E 91.980286°		 ← 110.76 m → S 68.738376°
E 91.983032°		 →
↑
110.73 m
↓
↑
110.73 m
↓
S 68.739372°
E 91.980286°		 ← 110.75 m →
12 263 m²		 S 68.739372°
E 91.983032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755504608154297 y=0.766254425048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755504608154297 × 217)
    floor (0.755504608154297 × 131072)
    floor (99025.5)     		tx = 99025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766254425048828 × 217)
    floor (0.766254425048828 × 131072)
    floor (100434.5)     		ty = 100434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99025 / 100434 ti = "17/99025/100434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99025/100434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99025 ÷ 217
    99025 ÷ 131072     		x = 0.755500793457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100434 ÷ 217
    100434 ÷ 131072     		y = 0.766250610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755500793457031 × 2 - 1) × π
    0.511001586914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.60535883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766250610351562 × 2 - 1) × π
    -0.532501220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67290192294072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60535883} λ = 1.60535883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67290192294072))-π/2
    2×atan(0.18770157902331)-π/2
    2×0.185542675826594-π/2
    0.371085351653189-1.57079632675     		φ = -1.19971098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60535883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.980286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19971098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.738376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99025 KachelY 100434 1.60535883 -1.19971098 91.980286 -68.738376
    Oben rechts KachelX + 1 99026 KachelY 100434 1.60540677 -1.19971098 91.983032 -68.738376
    Unten links KachelX 99025 KachelY + 1 100435 1.60535883 -1.19972836 91.980286 -68.739372
    Unten rechts KachelX + 1 99026 KachelY + 1 100435 1.60540677 -1.19972836 91.983032 -68.739372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19971098--1.19972836) × R
    1.73799999998447e-05 × 6371000     		dl = 110.727979999011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19971098--1.19972836) × R
    1.73799999998447e-05 × 6371000     		dr = 110.727979999011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60535883-1.60540677) × cos(-1.19971098) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.362627117275214 × 6371000     		do = 110.755655638289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60535883-1.60540677) × cos(-1.19972836) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.362610920201993 × 6371000     		du = 110.750708635215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19971098)-sin(-1.19972836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362627117275214-0.362610920201993)×R²
    abs(1.60540677-1.60535883)×1.6197073221258e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.6197073221258e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.6197073221258e-05×40589641000000     		ar = 12263.4761366262m²