Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99024 / 100435
↖ ↑ ↗
← S 68.739372°
E 91.977539°		 ← 110.75 m → S 68.739372°
E 91.980286°		 →
↑
110.73 m
↓
↑
110.73 m
↓
S 68.740367°
E 91.977539°		 ← 110.75 m →
12 263 m²		 S 68.740367°
E 91.980286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755496978759766 y=0.766262054443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755496978759766 × 217)
    floor (0.755496978759766 × 131072)
    floor (99024.5)     		tx = 99024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766262054443359 × 217)
    floor (0.766262054443359 × 131072)
    floor (100435.5)     		ty = 100435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99024 / 100435 ti = "17/99024/100435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99024/100435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99024 ÷ 217
    99024 ÷ 131072     		x = 0.7554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100435 ÷ 217
    100435 ÷ 131072     		y = 0.766258239746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7554931640625 × 2 - 1) × π
    0.510986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.60531089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766258239746094 × 2 - 1) × π
    -0.532516479492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.67294985984034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60531089} λ = 1.60531089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67294985984034))-π/2
    2×atan(0.187692581407219)-π/2
    2×0.185533984410768-π/2
    0.371067968821536-1.57079632675     		φ = -1.19972836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60531089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.977539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19972836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.739372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99024 KachelY 100435 1.60531089 -1.19972836 91.977539 -68.739372
    Oben rechts KachelX + 1 99025 KachelY 100435 1.60535883 -1.19972836 91.980286 -68.739372
    Unten links KachelX 99024 KachelY + 1 100436 1.60531089 -1.19974574 91.977539 -68.740367
    Unten rechts KachelX + 1 99025 KachelY + 1 100436 1.60535883 -1.19974574 91.980286 -68.740367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19972836--1.19974574) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dl = 110.727980000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19972836--1.19974574) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dr = 110.727980000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60531089-1.60535883) × cos(-1.19972836) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362610920201993 × 6371000     		do = 110.750708634702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60531089-1.60535883) × cos(-1.19974574) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362594723019239 × 6371000     		du = 110.745761598174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19972836)-sin(-1.19974574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362610920201993-0.362594723019239)×R²
    abs(1.60535883-1.60531089)×1.61971827533081e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61971827533081e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61971827533081e-05×40589641000000     		ar = 12262.9283633608m²