Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99023 / 100401
↖ ↑ ↗
← S 68.705484°
E 91.974793°		 ← 110.90 m → S 68.705484°
E 91.977539°		 →
↑
110.86 m
↓
↑
110.86 m
↓
S 68.706481°
E 91.974793°		 ← 110.89 m →
12 293 m²		 S 68.706481°
E 91.977539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755489349365234 y=0.766002655029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755489349365234 × 217)
    floor (0.755489349365234 × 131072)
    floor (99023.5)     		tx = 99023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766002655029297 × 217)
    floor (0.766002655029297 × 131072)
    floor (100401.5)     		ty = 100401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99023 / 100401 ti = "17/99023/100401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99023/100401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99023 ÷ 217
    99023 ÷ 131072     		x = 0.755485534667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100401 ÷ 217
    100401 ÷ 131072     		y = 0.765998840332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755485534667969 × 2 - 1) × π
    0.510971069335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.60526296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765998840332031 × 2 - 1) × π
    -0.531997680664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.67132000525326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60526296} λ = 1.60526296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67132000525326))-π/2
    2×atan(0.187998742453205)-π/2
    2×0.185829710467285-π/2
    0.371659420934571-1.57079632675     		φ = -1.19913691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60526296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.974793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19913691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.705484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99023 KachelY 100401 1.60526296 -1.19913691 91.974793 -68.705484
    Oben rechts KachelX + 1 99024 KachelY 100401 1.60531089 -1.19913691 91.977539 -68.705484
    Unten links KachelX 99023 KachelY + 1 100402 1.60526296 -1.19915431 91.974793 -68.706481
    Unten rechts KachelX + 1 99024 KachelY + 1 100402 1.60531089 -1.19915431 91.977539 -68.706481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19913691--1.19915431) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dl = 110.855399999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19913691--1.19915431) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dr = 110.855399999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60526296-1.60531089) × cos(-1.19913691) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.363162053026959 × 6371000     		do = 110.895901731348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60526296-1.60531089) × cos(-1.19915431) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.363145840939732 × 6371000     		du = 110.890951175482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19913691)-sin(-1.19915431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363162053026959-0.363145840939732)×R²
    abs(1.60531089-1.60526296)×1.62120872267413e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62120872267413e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62120872267413e-05×40589641000000     		ar = 12293.1351471082m²