Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99022 / 100563
↖ ↑ ↗
← S 68.866488°
E 91.972046°		 ← 110.12 m → S 68.866488°
E 91.974793°		 →
↑
110.09 m
↓
↑
110.09 m
↓
S 68.867478°
E 91.972046°		 ← 110.11 m →
12 123 m²		 S 68.867478°
E 91.974793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755481719970703 y=0.767238616943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755481719970703 × 217)
    floor (0.755481719970703 × 131072)
    floor (99022.5)     		tx = 99022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767238616943359 × 217)
    floor (0.767238616943359 × 131072)
    floor (100563.5)     		ty = 100563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99022 / 100563 ti = "17/99022/100563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99022/100563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99022 ÷ 217
    99022 ÷ 131072     		x = 0.755477905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100563 ÷ 217
    100563 ÷ 131072     		y = 0.767234802246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755477905273438 × 2 - 1) × π
    0.510955810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60521502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767234802246094 × 2 - 1) × π
    -0.534469604492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.67908578299171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60521502} λ = 1.60521502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67908578299171))-π/2
    2×atan(0.186544440206956)-π/2
    2×0.184424683637771-π/2
    0.368849367275541-1.57079632675     		φ = -1.20194696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60521502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.972046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20194696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.866488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99022 KachelY 100563 1.60521502 -1.20194696 91.972046 -68.866488
    Oben rechts KachelX + 1 99023 KachelY 100563 1.60526296 -1.20194696 91.974793 -68.866488
    Unten links KachelX 99022 KachelY + 1 100564 1.60521502 -1.20196424 91.972046 -68.867478
    Unten rechts KachelX + 1 99023 KachelY + 1 100564 1.60526296 -1.20196424 91.974793 -68.867478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20194696--1.20196424) × R
    1.72800000000084e-05 × 6371000     		dl = 110.090880000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20194696--1.20196424) × R
    1.72800000000084e-05 × 6371000     		dr = 110.090880000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60521502-1.60526296) × cos(-1.20194696) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360542426018224 × 6371000     		do = 110.118937267939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60521502-1.60526296) × cos(-1.20196424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360526308168552 × 6371000     		du = 110.114014461776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20194696)-sin(-1.20196424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360542426018224-0.360526308168552)×R²
    abs(1.60526296-1.60521502)×1.61178496720926e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61178496720926e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61178496720926e-05×40589641000000     		ar = 12122.8197308517m²