Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99017 / 100383
↖ ↑ ↗
← S 68.687522°
E 91.958313°		 ← 110.99 m → S 68.687522°
E 91.961059°		 →
↑
110.98 m
↓
↑
110.98 m
↓
S 68.688520°
E 91.958313°		 ← 110.98 m →
12 317 m²		 S 68.688520°
E 91.961059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755443572998047 y=0.765865325927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755443572998047 × 217)
    floor (0.755443572998047 × 131072)
    floor (99017.5)     		tx = 99017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765865325927734 × 217)
    floor (0.765865325927734 × 131072)
    floor (100383.5)     		ty = 100383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99017 / 100383 ti = "17/99017/100383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99017/100383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99017 ÷ 217
    99017 ÷ 131072     		x = 0.755439758300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100383 ÷ 217
    100383 ÷ 131072     		y = 0.765861511230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755439758300781 × 2 - 1) × π
    0.510879516601562 × 3.1415926535     		Λ = 1.60497534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765861511230469 × 2 - 1) × π
    -0.531723022460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.6704571410601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60497534} λ = 1.60497534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6704571410601))-π/2
    2×atan(0.188161029842346)-π/2
    2×0.185986453230784-π/2
    0.371972906461568-1.57079632675     		φ = -1.19882342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60497534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.958313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19882342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.687522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99017 KachelY 100383 1.60497534 -1.19882342 91.958313 -68.687522
    Oben rechts KachelX + 1 99018 KachelY 100383 1.60502327 -1.19882342 91.961059 -68.687522
    Unten links KachelX 99017 KachelY + 1 100384 1.60497534 -1.19884084 91.958313 -68.688520
    Unten rechts KachelX + 1 99018 KachelY + 1 100384 1.60502327 -1.19884084 91.961059 -68.688520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19882342--1.19884084) × R
    1.74199999998237e-05 × 6371000     		dl = 110.982819998877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19882342--1.19884084) × R
    1.74199999998237e-05 × 6371000     		dr = 110.982819998877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60497534-1.60502327) × cos(-1.19882342) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.363454121958197 × 6371000     		do = 110.985088493091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60497534-1.60502327) × cos(-1.19884084) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.363437893220304 × 6371000     		du = 110.980132852743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19882342)-sin(-1.19884084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363454121958197-0.363437893220304)×R²
    abs(1.60502327-1.60497534)×1.62287378932535e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62287378932535e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62287378932535e-05×40589641000000     		ar = 12317.163103768m²