Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99016 / 100470
↖ ↑ ↗
← S 68.774202°
E 91.955566°		 ← 110.58 m → S 68.774202°
E 91.958313°		 →
↑
110.54 m
↓
↑
110.54 m
↓
S 68.775196°
E 91.955566°		 ← 110.57 m →
12 223 m²		 S 68.775196°
E 91.958313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755435943603516 y=0.766529083251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755435943603516 × 217)
    floor (0.755435943603516 × 131072)
    floor (99016.5)     		tx = 99016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766529083251953 × 217)
    floor (0.766529083251953 × 131072)
    floor (100470.5)     		ty = 100470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99016 / 100470 ti = "17/99016/100470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99016/100470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99016 ÷ 217
    99016 ÷ 131072     		x = 0.75543212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100470 ÷ 217
    100470 ÷ 131072     		y = 0.766525268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75543212890625 × 2 - 1) × π
    0.5108642578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.60492740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766525268554688 × 2 - 1) × π
    -0.533050537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67462765132704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60492740} λ = 1.60492740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67462765132704))-π/2
    2×atan(0.187377936420167)-π/2
    2×0.185230029364768-π/2
    0.370460058729537-1.57079632675     		φ = -1.20033627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60492740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.955566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20033627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.774202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99016 KachelY 100470 1.60492740 -1.20033627 91.955566 -68.774202
    Oben rechts KachelX + 1 99017 KachelY 100470 1.60497534 -1.20033627 91.958313 -68.774202
    Unten links KachelX 99016 KachelY + 1 100471 1.60492740 -1.20035362 91.955566 -68.775196
    Unten rechts KachelX + 1 99017 KachelY + 1 100471 1.60497534 -1.20035362 91.958313 -68.775196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20033627--1.20035362) × R
    1.73500000000271e-05 × 6371000     		dl = 110.536850000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20033627--1.20035362) × R
    1.73500000000271e-05 × 6371000     		dr = 110.536850000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60492740-1.60497534) × cos(-1.20033627) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362044317211886 × 6371000     		do = 110.577653497162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60492740-1.60497534) × cos(-1.20035362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.362028144166069 × 6371000     		du = 110.572713832676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20033627)-sin(-1.20035362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362044317211886-0.362028144166069)×R²
    abs(1.60497534-1.60492740)×1.61730458164144e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.61730458164144e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.61730458164144e-05×40589641000000     		ar = 12222.6324907498m²