Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99003 / 100398
↖ ↑ ↗
← S 68.702491°
E 91.919861°		 ← 110.93 m → S 68.702491°
E 91.922608°		 →
↑
110.92 m
↓
↑
110.92 m
↓
S 68.703489°
E 91.919861°		 ← 110.93 m →
12 304 m²		 S 68.703489°
E 91.922608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755336761474609 y=0.765979766845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755336761474609 × 217)
    floor (0.755336761474609 × 131072)
    floor (99003.5)     		tx = 99003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765979766845703 × 217)
    floor (0.765979766845703 × 131072)
    floor (100398.5)     		ty = 100398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99003 / 100398 ti = "17/99003/100398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99003/100398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99003 ÷ 217
    99003 ÷ 131072     		x = 0.755332946777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100398 ÷ 217
    100398 ÷ 131072     		y = 0.765975952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755332946777344 × 2 - 1) × π
    0.510665893554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.60430422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765975952148438 × 2 - 1) × π
    -0.531951904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6711761945544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60430422} λ = 1.60430422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6711761945544))-π/2
    2×atan(0.188025780627885)-π/2
    2×0.18585582551144-π/2
    0.37171165102288-1.57079632675     		φ = -1.19908468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60430422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.919861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19908468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.702491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99003 KachelY 100398 1.60430422 -1.19908468 91.919861 -68.702491
    Oben rechts KachelX + 1 99004 KachelY 100398 1.60435216 -1.19908468 91.922608 -68.702491
    Unten links KachelX 99003 KachelY + 1 100399 1.60430422 -1.19910209 91.919861 -68.703489
    Unten rechts KachelX + 1 99004 KachelY + 1 100399 1.60435216 -1.19910209 91.922608 -68.703489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19908468--1.19910209) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dl = 110.919110000679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19908468--1.19910209) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dr = 110.919110000679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60430422-1.60435216) × cos(-1.19908468) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363210716580125 × 6371000     		do = 110.933901887342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60430422-1.60435216) × cos(-1.19910209) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363194495505822 × 6371000     		du = 110.928947553719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19908468)-sin(-1.19910209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363210716580125-0.363194495505822)×R²
    abs(1.60435216-1.60430422)×1.62210743031577e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62210743031577e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62210743031577e-05×40589641000000     		ar = 12304.4149013774m²