Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99001 / 100400
↖ ↑ ↗
← S 68.704486°
E 91.914368°		 ← 110.90 m → S 68.704486°
E 91.917114°		 →
↑
110.92 m
↓
↑
110.92 m
↓
S 68.705484°
E 91.914368°		 ← 110.90 m →
12 301 m²		 S 68.705484°
E 91.917114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755321502685547 y=0.765995025634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755321502685547 × 217)
    floor (0.755321502685547 × 131072)
    floor (99001.5)     		tx = 99001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765995025634766 × 217)
    floor (0.765995025634766 × 131072)
    floor (100400.5)     		ty = 100400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99001 / 100400 ti = "17/99001/100400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99001/100400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99001 ÷ 217
    99001 ÷ 131072     		x = 0.755317687988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100400 ÷ 217
    100400 ÷ 131072     		y = 0.7659912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755317687988281 × 2 - 1) × π
    0.510635375976562 × 3.1415926535     		Λ = 1.60420835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7659912109375 × 2 - 1) × π
    -0.531982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67127206835364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60420835} λ = 1.60420835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67127206835364))-π/2
    2×atan(0.188007754746059)-π/2
    2×0.185838415093209-π/2
    0.371676830186418-1.57079632675     		φ = -1.19911950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60420835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.914368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19911950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.704486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99001 KachelY 100400 1.60420835 -1.19911950 91.914368 -68.704486
    Oben rechts KachelX + 1 99002 KachelY 100400 1.60425628 -1.19911950 91.917114 -68.704486
    Unten links KachelX 99001 KachelY + 1 100401 1.60420835 -1.19913691 91.914368 -68.705484
    Unten rechts KachelX + 1 99002 KachelY + 1 100401 1.60425628 -1.19913691 91.917114 -68.705484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19911950--1.19913691) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dl = 110.919110000679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19911950--1.19913691) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dr = 110.919110000679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60420835-1.60425628) × cos(-1.19911950) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.363178274321431 × 6371000     		do = 110.900855098757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60420835-1.60425628) × cos(-1.19913691) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.363162053026959 × 6371000     		du = 110.895901731348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19911950)-sin(-1.19913691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363178274321431-0.363162053026959)×R²
    abs(1.60425628-1.60420835)×1.62212944726514e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62212944726514e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62212944726514e-05×40589641000000     		ar = 12300.7494348135m²