Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98990 / 100406
↖ ↑ ↗
← S 68.710470°
E 91.884155°		 ← 110.89 m → S 68.710470°
E 91.886902°		 →
↑
110.86 m
↓
↑
110.86 m
↓
S 68.711467°
E 91.884155°		 ← 110.89 m →
12 293 m²		 S 68.711467°
E 91.886902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755237579345703 y=0.766040802001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755237579345703 × 217)
    floor (0.755237579345703 × 131072)
    floor (98990.5)     		tx = 98990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766040802001953 × 217)
    floor (0.766040802001953 × 131072)
    floor (100406.5)     		ty = 100406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98990 / 100406 ti = "17/98990/100406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98990/100406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98990 ÷ 217
    98990 ÷ 131072     		x = 0.755233764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100406 ÷ 217
    100406 ÷ 131072     		y = 0.766036987304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755233764648438 × 2 - 1) × π
    0.510467529296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60368104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766036987304688 × 2 - 1) × π
    -0.532073974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67155968975136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60368104} λ = 1.60368104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67155968975136))-π/2
    2×atan(0.187953687468683)-π/2
    2×0.185786193169002-π/2
    0.371572386338004-1.57079632675     		φ = -1.19922394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60368104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.884155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19922394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.710470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98990 KachelY 100406 1.60368104 -1.19922394 91.884155 -68.710470
    Oben rechts KachelX + 1 98991 KachelY 100406 1.60372898 -1.19922394 91.886902 -68.710470
    Unten links KachelX 98990 KachelY + 1 100407 1.60368104 -1.19924134 91.884155 -68.711467
    Unten rechts KachelX + 1 98991 KachelY + 1 100407 1.60372898 -1.19924134 91.886902 -68.711467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19922394--1.19924134) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dl = 110.855399999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19922394--1.19924134) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dr = 110.855399999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60368104-1.60372898) × cos(-1.19922394) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.363080963538686 × 6371000     		do = 110.894271969157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60368104-1.60372898) × cos(-1.19924134) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.363064750901588 × 6371000     		du = 110.889320212474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19922394)-sin(-1.19924134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363080963538686-0.363064750901588)×R²
    abs(1.60372898-1.60368104)×1.62126370973348e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.62126370973348e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.62126370973348e-05×40589641000000     		ar = 12292.9544125654m²