Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98985 / 100389
↖ ↑ ↗
← S 68.693511°
E 91.870423°		 ← 110.96 m → S 68.693511°
E 91.873169°		 →
↑
110.98 m
↓
↑
110.98 m
↓
S 68.694509°
E 91.870423°		 ← 110.95 m →
12 314 m²		 S 68.694509°
E 91.873169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755199432373047 y=0.765911102294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755199432373047 × 217)
    floor (0.755199432373047 × 131072)
    floor (98985.5)     		tx = 98985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765911102294922 × 217)
    floor (0.765911102294922 × 131072)
    floor (100389.5)     		ty = 100389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98985 / 100389 ti = "17/98985/100389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98985/100389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98985 ÷ 217
    98985 ÷ 131072     		x = 0.755195617675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100389 ÷ 217
    100389 ÷ 131072     		y = 0.765907287597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755195617675781 × 2 - 1) × π
    0.510391235351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.60344136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765907287597656 × 2 - 1) × π
    -0.531814575195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.67074476245782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60344136} λ = 1.60344136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67074476245782))-π/2
    2×atan(0.188106918486112)-π/2
    2×0.185934191641742-π/2
    0.371868383283484-1.57079632675     		φ = -1.19892794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60344136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.870423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19892794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.693511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98985 KachelY 100389 1.60344136 -1.19892794 91.870423 -68.693511
    Oben rechts KachelX + 1 98986 KachelY 100389 1.60348929 -1.19892794 91.873169 -68.693511
    Unten links KachelX 98985 KachelY + 1 100390 1.60344136 -1.19894536 91.870423 -68.694509
    Unten rechts KachelX + 1 98986 KachelY + 1 100390 1.60348929 -1.19894536 91.873169 -68.694509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19892794--1.19894536) × R
    1.74200000000457e-05 × 6371000     		dl = 110.982820000291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19892794--1.19894536) × R
    1.74200000000457e-05 × 6371000     		dr = 110.982820000291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60344136-1.60348929) × cos(-1.19892794) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.363356747876622 × 6371000     		do = 110.955354145871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60344136-1.60348929) × cos(-1.19894536) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.363340518477077 × 6371000     		du = 110.950398303481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19892794)-sin(-1.19894536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363356747876622-0.363340518477077)×R²
    abs(1.60348929-1.60344136)×1.62293995449314e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.62293995449314e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.62293995449314e-05×40589641000000     		ar = 12313.8630908943m²