Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98984 / 100390
↖ ↑ ↗
← S 68.694509°
E 91.867676°		 ← 110.97 m → S 68.694509°
E 91.870423°		 →
↑
110.98 m
↓
↑
110.98 m
↓
S 68.695507°
E 91.867676°		 ← 110.97 m →
12 316 m²		 S 68.695507°
E 91.870423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755191802978516 y=0.765918731689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755191802978516 × 217)
    floor (0.755191802978516 × 131072)
    floor (98984.5)     		tx = 98984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765918731689453 × 217)
    floor (0.765918731689453 × 131072)
    floor (100390.5)     		ty = 100390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98984 / 100390 ti = "17/98984/100390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98984/100390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98984 ÷ 217
    98984 ÷ 131072     		x = 0.75518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100390 ÷ 217
    100390 ÷ 131072     		y = 0.765914916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75518798828125 × 2 - 1) × π
    0.5103759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.60339342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765914916992188 × 2 - 1) × π
    -0.531829833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67079269935744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60339342} λ = 1.60339342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67079269935744))-π/2
    2×atan(0.188097901439769)-π/2
    2×0.185925482738319-π/2
    0.371850965476638-1.57079632675     		φ = -1.19894536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60339342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.867676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19894536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.694509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98984 KachelY 100390 1.60339342 -1.19894536 91.867676 -68.694509
    Oben rechts KachelX + 1 98985 KachelY 100390 1.60344136 -1.19894536 91.870423 -68.694509
    Unten links KachelX 98984 KachelY + 1 100391 1.60339342 -1.19896278 91.867676 -68.695507
    Unten rechts KachelX + 1 98985 KachelY + 1 100391 1.60344136 -1.19896278 91.870423 -68.695507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19894536--1.19896278) × R
    1.74200000000457e-05 × 6371000     		dl = 110.982820000291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19894536--1.19896278) × R
    1.74200000000457e-05 × 6371000     		dr = 110.982820000291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60339342-1.60344136) × cos(-1.19894536) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363340518477077 × 6371000     		do = 110.973546727772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60339342-1.60344136) × cos(-1.19896278) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363324288967274 × 6371000     		du = 110.968589817731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19894536)-sin(-1.19896278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363340518477077-0.363324288967274)×R²
    abs(1.60344136-1.60339342)×1.62295098029008e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62295098029008e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62295098029008e-05×40589641000000     		ar = 12315.8820957467m²