Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98984 / 100387
↖ ↑ ↗
← S 68.691515°
E 91.867676°		 ← 110.99 m → S 68.691515°
E 91.870423°		 →
↑
110.92 m
↓
↑
110.92 m
↓
S 68.692513°
E 91.867676°		 ← 110.98 m →
12 310 m²		 S 68.692513°
E 91.870423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755191802978516 y=0.765895843505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755191802978516 × 217)
    floor (0.755191802978516 × 131072)
    floor (98984.5)     		tx = 98984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765895843505859 × 217)
    floor (0.765895843505859 × 131072)
    floor (100387.5)     		ty = 100387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98984 / 100387 ti = "17/98984/100387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98984/100387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98984 ÷ 217
    98984 ÷ 131072     		x = 0.75518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100387 ÷ 217
    100387 ÷ 131072     		y = 0.765892028808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75518798828125 × 2 - 1) × π
    0.5103759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.60339342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765892028808594 × 2 - 1) × π
    -0.531784057617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.67064888865858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60339342} λ = 1.60339342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67064888865858))-π/2
    2×atan(0.188124953875597)-π/2
    2×0.185951610615458-π/2
    0.371903221230916-1.57079632675     		φ = -1.19889311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60339342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.867676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19889311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.691515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98984 KachelY 100387 1.60339342 -1.19889311 91.867676 -68.691515
    Oben rechts KachelX + 1 98985 KachelY 100387 1.60344136 -1.19889311 91.870423 -68.691515
    Unten links KachelX 98984 KachelY + 1 100388 1.60339342 -1.19891052 91.867676 -68.692513
    Unten rechts KachelX + 1 98985 KachelY + 1 100388 1.60344136 -1.19891052 91.870423 -68.692513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19889311--1.19891052) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dl = 110.919110000679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19889311--1.19891052) × R
    1.74100000001065e-05 × 6371000     		dr = 110.919110000679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60339342-1.60344136) × cos(-1.19889311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363389197028544 × 6371000     		do = 110.988414410376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60339342-1.60344136) × cos(-1.19891052) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363372977165904 × 6371000     		du = 110.983460446826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19889311)-sin(-1.19891052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363389197028544-0.363372977165904)×R²
    abs(1.60344136-1.60339342)×1.6219862639999e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6219862639999e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6219862639999e-05×40589641000000     		ar = 12310.4614024334m²