Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98983 / 100391
↖ ↑ ↗
← S 68.695507°
E 91.864929°		 ← 110.97 m → S 68.695507°
E 91.867676°		 →
↑
110.92 m
↓
↑
110.92 m
↓
S 68.696505°
E 91.864929°		 ← 110.96 m →
12 308 m²		 S 68.696505°
E 91.867676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755184173583984 y=0.765926361083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755184173583984 × 217)
    floor (0.755184173583984 × 131072)
    floor (98983.5)     		tx = 98983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765926361083984 × 217)
    floor (0.765926361083984 × 131072)
    floor (100391.5)     		ty = 100391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98983 / 100391 ti = "17/98983/100391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98983/100391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98983 ÷ 217
    98983 ÷ 131072     		x = 0.755180358886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100391 ÷ 217
    100391 ÷ 131072     		y = 0.765922546386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755180358886719 × 2 - 1) × π
    0.510360717773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.60334548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765922546386719 × 2 - 1) × π
    -0.531845092773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.67084063625706
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60334548} λ = 1.60334548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67084063625706))-π/2
    2×atan(0.188088884825665)-π/2
    2×0.185916774223834-π/2
    0.371833548447667-1.57079632675     		φ = -1.19896278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60334548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.864929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19896278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.695507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98983 KachelY 100391 1.60334548 -1.19896278 91.864929 -68.695507
    Oben rechts KachelX + 1 98984 KachelY 100391 1.60339342 -1.19896278 91.867676 -68.695507
    Unten links KachelX 98983 KachelY + 1 100392 1.60334548 -1.19898019 91.864929 -68.696505
    Unten rechts KachelX + 1 98984 KachelY + 1 100392 1.60339342 -1.19898019 91.867676 -68.696505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19896278--1.19898019) × R
    1.74099999998845e-05 × 6371000     		dl = 110.919109999264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19896278--1.19898019) × R
    1.74099999998845e-05 × 6371000     		dr = 110.919109999264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60334548-1.60339342) × cos(-1.19896278) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363324288967274 × 6371000     		do = 110.968589817731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60334548-1.60339342) × cos(-1.19898019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363308068663909 × 6371000     		du = 110.963635719572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19896278)-sin(-1.19898019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363324288967274-0.363308068663909)×R²
    abs(1.60339342-1.60334548)×1.62203033652331e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62203033652331e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62203033652331e-05×40589641000000     		ar = 12308.2624686207m²