Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 98982 / 100388
↖ ↑ ↗
← S 68.692513°
E 91.862182°		 ← 110.98 m → S 68.692513°
E 91.864929°		 →
↑
110.98 m
↓
↑
110.98 m
↓
S 68.693511°
E 91.862182°		 ← 110.98 m →
12 317 m²		 S 68.693511°
E 91.864929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 98982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755176544189453 y=0.765903472900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755176544189453 × 217)
    floor (0.755176544189453 × 131072)
    floor (98982.5)     		tx = 98982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765903472900391 × 217)
    floor (0.765903472900391 × 131072)
    floor (100388.5)     		ty = 100388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 98982 / 100388 ti = "17/98982/100388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/98982/100388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 98982 ÷ 217
    98982 ÷ 131072     		x = 0.755172729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100388 ÷ 217
    100388 ÷ 131072     		y = 0.765899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755172729492188 × 2 - 1) × π
    0.510345458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.60329754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765899658203125 × 2 - 1) × π
    -0.53179931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6706968255582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60329754} λ = 1.60329754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6706968255582))-π/2
    2×atan(0.188115935964714)-π/2
    2×0.185942900934116-π/2
    0.371885801868233-1.57079632675     		φ = -1.19891052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60329754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.862182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19891052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.692513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 98982 KachelY 100388 1.60329754 -1.19891052 91.862182 -68.692513
    Oben rechts KachelX + 1 98983 KachelY 100388 1.60334548 -1.19891052 91.864929 -68.692513
    Unten links KachelX 98982 KachelY + 1 100389 1.60329754 -1.19892794 91.862182 -68.693511
    Unten rechts KachelX + 1 98983 KachelY + 1 100389 1.60334548 -1.19892794 91.864929 -68.693511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19891052--1.19892794) × R
    1.74199999998237e-05 × 6371000     		dl = 110.982819998877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19891052--1.19892794) × R
    1.74199999998237e-05 × 6371000     		dr = 110.982819998877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60329754-1.60334548) × cos(-1.19891052) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363372977165904 × 6371000     		do = 110.983460446826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60329754-1.60334548) × cos(-1.19892794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.363356747876622 × 6371000     		du = 110.978503604138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19891052)-sin(-1.19892794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363372977165904-0.363356747876622)×R²
    abs(1.60334548-1.60329754)×1.62292892817995e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.62292892817995e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.62292892817995e-05×40589641000000     		ar = 12316.9823517198m²