Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9898 / 10478
↖ ↑ ↗
← S 44.809122°
E 37.485352°		 ← 1 733.36 m → S 44.809122°
E 37.507324°		 →
↑
1 733.17 m
↓
↑
1 733.17 m
↓
S 44.824709°
E 37.485352°		 ← 1 732.89 m →
3 003 795 m²		 S 44.824709°
E 37.507324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604156494140625 y=0.639556884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604156494140625 × 214)
    floor (0.604156494140625 × 16384)
    floor (9898.5)     		tx = 9898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639556884765625 × 214)
    floor (0.639556884765625 × 16384)
    floor (10478.5)     		ty = 10478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9898 / 10478 ti = "14/9898/10478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9898/10478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9898 ÷ 214
    9898 ÷ 16384     		x = 0.6041259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10478 ÷ 214
    10478 ÷ 16384     		y = 0.6395263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6041259765625 × 2 - 1) × π
    0.208251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65424281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6395263671875 × 2 - 1) × π
    -0.279052734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.876670020251587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65424281} λ = 0.65424281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876670020251587))-π/2
    2×atan(0.416166432647406)-π/2
    2×0.394364809109742-π/2
    0.788729618219484-1.57079632675     		φ = -0.78206671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65424281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.485352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78206671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.809122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9898 KachelY 10478 0.65424281 -0.78206671 37.485352 -44.809122
    Oben rechts KachelX + 1 9899 KachelY 10478 0.65462630 -0.78206671 37.507324 -44.809122
    Unten links KachelX 9898 KachelY + 1 10479 0.65424281 -0.78233875 37.485352 -44.824709
    Unten rechts KachelX + 1 9899 KachelY + 1 10479 0.65462630 -0.78233875 37.507324 -44.824709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78206671--0.78233875) × R
    0.000272039999999918 × 6371000     		dl = 1733.16683999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78206671--0.78233875) × R
    0.000272039999999918 × 6371000     		dr = 1733.16683999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65424281-0.65462630) × cos(-0.78206671) × R
    0.000383490000000042 × 0.709458546180041 × 6371000     		do = 1733.35961291916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65424281-0.65462630) × cos(-0.78233875) × R
    0.000383490000000042 × 0.709266800510727 × 6371000     		du = 1732.89113706398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78206671)-sin(-0.78233875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709458546180041-0.709266800510727)×R²
    abs(0.65462630-0.65424281)×0.000191745669314236×R²
    0.000383490000000042×0.000191745669314236×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191745669314236×40589641000000     		ar = 3003795.44802112m²