Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9897 / 10441
↖ ↑ ↗
← S 44.229456°
E 37.463379°		 ← 1 750.74 m → S 44.229456°
E 37.485352°		 →
↑
1 750.50 m
↓
↑
1 750.50 m
↓
S 44.245199°
E 37.463379°		 ← 1 750.27 m →
3 064 247 m²		 S 44.245199°
E 37.485352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.604095458984375 y=0.637298583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.604095458984375 × 214)
    floor (0.604095458984375 × 16384)
    floor (9897.5)     		tx = 9897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637298583984375 × 214)
    floor (0.637298583984375 × 16384)
    floor (10441.5)     		ty = 10441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9897 / 10441 ti = "14/9897/10441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9897/10441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9897 ÷ 214
    9897 ÷ 16384     		x = 0.60406494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10441 ÷ 214
    10441 ÷ 16384     		y = 0.63726806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60406494140625 × 2 - 1) × π
    0.2081298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65385931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63726806640625 × 2 - 1) × π
    -0.2745361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.86248069796405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65385931} λ = 0.65385931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86248069796405))-π/2
    2×atan(0.422113645966302)-π/2
    2×0.399423341663932-π/2
    0.798846683327864-1.57079632675     		φ = -0.77194964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65385931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.463379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77194964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.229456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9897 KachelY 10441 0.65385931 -0.77194964 37.463379 -44.229456
    Oben rechts KachelX + 1 9898 KachelY 10441 0.65424281 -0.77194964 37.485352 -44.229456
    Unten links KachelX 9897 KachelY + 1 10442 0.65385931 -0.77222440 37.463379 -44.245199
    Unten rechts KachelX + 1 9898 KachelY + 1 10442 0.65424281 -0.77222440 37.485352 -44.245199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77194964--0.77222440) × R
    0.000274760000000041 × 6371000     		dl = 1750.49596000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77194964--0.77222440) × R
    0.000274760000000041 × 6371000     		dr = 1750.49596000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65385931-0.65424281) × cos(-0.77194964) × R
    0.000383499999999981 × 0.71655209294082 × 6371000     		do = 1750.73632281222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65385931-0.65424281) × cos(-0.77222440) × R
    0.000383499999999981 × 0.716360411568871 × 6371000     		du = 1750.26799183729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77194964)-sin(-0.77222440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71655209294082-0.716360411568871)×R²
    abs(0.65424281-0.65385931)×0.000191681371949581×R²
    0.000383499999999981×0.000191681371949581×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191681371949581×40589641000000     		ar = 3064246.97364607m²