Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9895 / 10530
↖ ↑ ↗
← S 45.614038°
E 37.419434°		 ← 1 709.04 m → S 45.614038°
E 37.441407°		 →
↑
1 708.77 m
↓
↑
1 708.77 m
↓
S 45.629405°
E 37.419434°		 ← 1 708.58 m →
2 919 957 m²		 S 45.629405°
E 37.441407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603973388671875 y=0.642730712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603973388671875 × 214)
    floor (0.603973388671875 × 16384)
    floor (9895.5)     		tx = 9895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642730712890625 × 214)
    floor (0.642730712890625 × 16384)
    floor (10530.5)     		ty = 10530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9895 / 10530 ti = "14/9895/10530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9895/10530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9895 ÷ 214
    9895 ÷ 16384     		x = 0.60394287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10530 ÷ 214
    10530 ÷ 16384     		y = 0.6427001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60394287109375 × 2 - 1) × π
    0.2078857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.65309232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6427001953125 × 2 - 1) × π
    -0.285400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.89661177049353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65309232} λ = 0.65309232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89661177049353))-π/2
    2×atan(0.40794954742615)-π/2
    2×0.387340594428439-π/2
    0.774681188856878-1.57079632675     		φ = -0.79611514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65309232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.419434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79611514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.614038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9895 KachelY 10530 0.65309232 -0.79611514 37.419434 -45.614038
    Oben rechts KachelX + 1 9896 KachelY 10530 0.65347582 -0.79611514 37.441407 -45.614038
    Unten links KachelX 9895 KachelY + 1 10531 0.65309232 -0.79638335 37.419434 -45.629405
    Unten rechts KachelX + 1 9896 KachelY + 1 10531 0.65347582 -0.79638335 37.441407 -45.629405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79611514--0.79638335) × R
    0.000268209999999991 × 6371000     		dl = 1708.76590999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79611514--0.79638335) × R
    0.000268209999999991 × 6371000     		dr = 1708.76590999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65309232-0.65347582) × cos(-0.79611514) × R
    0.000383500000000092 × 0.69948827293058 × 6371000     		do = 1709.04465825383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65309232-0.65347582) × cos(-0.79638335) × R
    0.000383500000000092 × 0.699296573085723 × 6371000     		du = 1708.57628214444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79611514)-sin(-0.79638335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69948827293058-0.699296573085723)×R²
    abs(0.65347582-0.65309232)×0.000191699844857118×R²
    0.000383500000000092×0.000191699844857118×6371000²
    0.000383500000000092×0.000191699844857118×40589641000000     		ar = 2919957.09563176m²