Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9892 / 10404
↖ ↑ ↗
← S 43.644026°
E 37.353515°		 ← 1 768.06 m → S 43.644026°
E 37.375488°		 →
↑
1 767.83 m
↓
↑
1 767.83 m
↓
S 43.659924°
E 37.353515°		 ← 1 767.59 m →
3 125 204 m²		 S 43.659924°
E 37.375488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603790283203125 y=0.635040283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603790283203125 × 214)
    floor (0.603790283203125 × 16384)
    floor (9892.5)     		tx = 9892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635040283203125 × 214)
    floor (0.635040283203125 × 16384)
    floor (10404.5)     		ty = 10404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9892 / 10404 ti = "14/9892/10404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9892/10404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9892 ÷ 214
    9892 ÷ 16384     		x = 0.603759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10404 ÷ 214
    10404 ÷ 16384     		y = 0.635009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603759765625 × 2 - 1) × π
    0.20751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65194183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635009765625 × 2 - 1) × π
    -0.27001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.848291375676514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65194183} λ = 0.65194183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848291375676514))-π/2
    2×atan(0.428145847750114)-π/2
    2×0.404532188472288-π/2
    0.809064376944576-1.57079632675     		φ = -0.76173195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65194183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.353515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76173195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.644026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9892 KachelY 10404 0.65194183 -0.76173195 37.353515 -43.644026
    Oben rechts KachelX + 1 9893 KachelY 10404 0.65232533 -0.76173195 37.375488 -43.644026
    Unten links KachelX 9892 KachelY + 1 10405 0.65194183 -0.76200943 37.353515 -43.659924
    Unten rechts KachelX + 1 9893 KachelY + 1 10405 0.65232533 -0.76200943 37.375488 -43.659924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76173195--0.76200943) × R
    0.000277479999999941 × 6371000     		dl = 1767.82507999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76173195--0.76200943) × R
    0.000277479999999941 × 6371000     		dr = 1767.82507999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65194183-0.65232533) × cos(-0.76173195) × R
    0.000383499999999981 × 0.723641746713376 × 6371000     		do = 1768.05832144715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65194183-0.65232533) × cos(-0.76200943) × R
    0.000383499999999981 × 0.723450208878909 × 6371000     		du = 1767.59034117426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76173195)-sin(-0.76200943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723641746713376-0.723450208878909)×R²
    abs(0.65232533-0.65194183)×0.00019153783446757×R²
    0.000383499999999981×0.00019153783446757×6371000²
    0.000383499999999981×0.00019153783446757×40589641000000     		ar = 3125204.20997646m²