Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 989 / 548
↖ ↑ ↗
← N 78.560488°
W 93.076172°		 ← 1 938.31 m → N 78.560488°
W 92.988281°		 →
↑
1 939.78 m
↓
↑
1 939.78 m
↓
N 78.543043°
W 93.076172°		 ← 1 941.23 m →
3 762 718 m²		 N 78.543043°
W 92.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2415771484375 y=0.1339111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2415771484375 × 212)
    floor (0.2415771484375 × 4096)
    floor (989.5)     		tx = 989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1339111328125 × 212)
    floor (0.1339111328125 × 4096)
    floor (548.5)     		ty = 548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 989 / 548 ti = "12/989/548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/989/548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 989 ÷ 212
    989 ÷ 4096     		x = 0.241455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 548 ÷ 212
    548 ÷ 4096     		y = 0.1337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.241455078125 × 2 - 1) × π
    -0.51708984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.62448565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1337890625 × 2 - 1) × π
    0.732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3009711817627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.62448565} λ = -1.62448565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3009711817627))-π/2
    2×atan(9.98387390423035)-π/2
    2×1.47096775465594-π/2
    2.94193550931187-1.57079632675     		φ = 1.37113918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.62448565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.076172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37113918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.560488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 989 KachelY 548 -1.62448565 1.37113918 -93.076172 78.560488
    Oben rechts KachelX + 1 990 KachelY 548 -1.62295167 1.37113918 -92.988281 78.560488
    Unten links KachelX 989 KachelY + 1 549 -1.62448565 1.37083471 -93.076172 78.543043
    Unten rechts KachelX + 1 990 KachelY + 1 549 -1.62295167 1.37083471 -92.988281 78.543043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37113918-1.37083471) × R
    0.00030446999999989 × 6371000     		dl = 1939.7783699993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37113918-1.37083471) × R
    0.00030446999999989 × 6371000     		dr = 1939.7783699993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.62448565--1.62295167) × cos(1.37113918) × R
    0.00153398000000005 × 0.198333300157594 × 6371000     		do = 1938.30868080733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.62448565--1.62295167) × cos(1.37083471) × R
    0.00153398000000005 × 0.198631712552251 × 6371000     		du = 1941.22506113563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37113918)-sin(1.37083471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198333300157594-0.198631712552251)×R²
    abs(-1.62295167--1.62448565)×0.000298412394657499×R²
    0.00153398000000005×0.000298412394657499×6371000²
    0.00153398000000005×0.000298412394657499×40589641000000     		ar = 3762717.84821947m²