Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 989 / 476
↖ ↑ ↗
← N 68.911005°
W  6.152344°		 ← 7 033.01 m → N 68.911005°
W  5.976562°		 →
↑
7 043.08 m
↓
↑
7 043.08 m
↓
N 68.847665°
W  6.152344°		 ← 7 053.16 m →
49 605 003 m²		 N 68.847665°
W  5.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483154296875 y=0.232666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483154296875 × 211)
    floor (0.483154296875 × 2048)
    floor (989.5)     		tx = 989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232666015625 × 211)
    floor (0.232666015625 × 2048)
    floor (476.5)     		ty = 476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 989 / 476 ti = "11/989/476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/989/476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 989 ÷ 211
    989 ÷ 2048     		x = 0.48291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 476 ÷ 211
    476 ÷ 2048     		y = 0.232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48291015625 × 2 - 1) × π
    -0.0341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10737866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232421875 × 2 - 1) × π
    0.53515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68124294347461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10737866} λ = -0.10737866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68124294347461))-π/2
    2×atan(5.37222920026812)-π/2
    2×1.38676012609572-π/2
    2.77352025219145-1.57079632675     		φ = 1.20272393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10737866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.152344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20272393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.911005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 989 KachelY 476 -0.10737866 1.20272393 -6.152344 68.911005
    Oben rechts KachelX + 1 990 KachelY 476 -0.10431069 1.20272393 -5.976562 68.911005
    Unten links KachelX 989 KachelY + 1 477 -0.10737866 1.20161844 -6.152344 68.847665
    Unten rechts KachelX + 1 990 KachelY + 1 477 -0.10431069 1.20161844 -5.976562 68.847665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20272393-1.20161844) × R
    0.00110549000000004 × 6371000     		dl = 7043.07679000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20272393-1.20161844) × R
    0.00110549000000004 × 6371000     		dr = 7043.07679000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10737866--0.10431069) × cos(1.20272393) × R
    0.00306797 × 0.359817604079576 × 6371000     		do = 7033.00815581445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10737866--0.10431069) × cos(1.20161844) × R
    0.00306797 × 0.360848831226474 × 6371000     		du = 7053.16455964908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20272393)-sin(1.20161844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359817604079576-0.360848831226474)×R²
    abs(-0.10431069--0.10737866)×0.00103122714689846×R²
    0.00306797×0.00103122714689846×6371000²
    0.00306797×0.00103122714689846×40589641000000     		ar = 49605003.1079991m²