Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 989 / 1199
↖ ↑ ↗
← S 29.382175°
W  6.152344°		 ← 17.032 km → S 29.382175°
W  5.976562°		 →
↑
17.019 km
↓
↑
17.019 km
↓
S 29.535229°
W  6.152344°		 ← 17.006 km →
289.643 km²		 S 29.535229°
W  5.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483154296875 y=0.585693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483154296875 × 211)
    floor (0.483154296875 × 2048)
    floor (989.5)     		tx = 989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585693359375 × 211)
    floor (0.585693359375 × 2048)
    floor (1199.5)     		ty = 1199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 989 / 1199 ti = "11/989/1199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/989/1199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 989 ÷ 211
    989 ÷ 2048     		x = 0.48291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1199 ÷ 211
    1199 ÷ 2048     		y = 0.58544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48291015625 × 2 - 1) × π
    -0.0341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10737866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58544921875 × 2 - 1) × π
    -0.1708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.536893275744629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10737866} λ = -0.10737866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536893275744629))-π/2
    2×atan(0.584561505685016)-π/2
    2×0.528990315174785-π/2
    1.05798063034957-1.57079632675     		φ = -0.51281570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10737866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.152344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51281570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.382175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 989 KachelY 1199 -0.10737866 -0.51281570 -6.152344 -29.382175
    Oben rechts KachelX + 1 990 KachelY 1199 -0.10431069 -0.51281570 -5.976562 -29.382175
    Unten links KachelX 989 KachelY + 1 1200 -0.10737866 -0.51548700 -6.152344 -29.535229
    Unten rechts KachelX + 1 990 KachelY + 1 1200 -0.10431069 -0.51548700 -5.976562 -29.535229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51281570--0.51548700) × R
    0.00267130000000004 × 6371000     		dl = 17018.8523000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51281570--0.51548700) × R
    0.00267130000000004 × 6371000     		dr = 17018.8523000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10737866--0.10431069) × cos(-0.51281570) × R
    0.00306797 × 0.871366489158399 × 6371000     		do = 17031.7615243725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10737866--0.10431069) × cos(-0.51548700) × R
    0.00306797 × 0.870052754632841 × 6371000     		du = 17006.0832208986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51281570)-sin(-0.51548700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871366489158399-0.870052754632841)×R²
    abs(-0.10431069--0.10737866)×0.00131373452555816×R²
    0.00306797×0.00131373452555816×6371000²
    0.00306797×0.00131373452555816×40589641000000     		ar = 289642698.402157m²