Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 989 / 1198
↖ ↑ ↗
← S 29.228890°
W  6.152344°		 ← 17.057 km → S 29.228890°
W  5.976562°		 →
↑
17.045 km
↓
↑
17.045 km
↓
S 29.382175°
W  6.152344°		 ← 17.032 km →
290.517 km²		 S 29.382175°
W  5.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483154296875 y=0.585205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483154296875 × 211)
    floor (0.483154296875 × 2048)
    floor (989.5)     		tx = 989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585205078125 × 211)
    floor (0.585205078125 × 2048)
    floor (1198.5)     		ty = 1198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 989 / 1198 ti = "11/989/1198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/989/1198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 989 ÷ 211
    989 ÷ 2048     		x = 0.48291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1198 ÷ 211
    1198 ÷ 2048     		y = 0.5849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48291015625 × 2 - 1) × π
    -0.0341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10737866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5849609375 × 2 - 1) × π
    -0.169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.533825314168945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10737866} λ = -0.10737866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533825314168945))-π/2
    2×atan(0.586357671798541)-π/2
    2×0.530327979538989-π/2
    1.06065595907798-1.57079632675     		φ = -0.51014037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10737866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.152344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51014037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.228890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 989 KachelY 1198 -0.10737866 -0.51014037 -6.152344 -29.228890
    Oben rechts KachelX + 1 990 KachelY 1198 -0.10431069 -0.51014037 -5.976562 -29.228890
    Unten links KachelX 989 KachelY + 1 1199 -0.10737866 -0.51281570 -6.152344 -29.382175
    Unten rechts KachelX + 1 990 KachelY + 1 1199 -0.10431069 -0.51281570 -5.976562 -29.382175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51014037--0.51281570) × R
    0.00267532999999998 × 6371000     		dl = 17044.5274299998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51014037--0.51281570) × R
    0.00267532999999998 × 6371000     		dr = 17044.5274299998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10737866--0.10431069) × cos(-0.51014037) × R
    0.00306797 × 0.872675973607667 × 6371000     		do = 17057.3567556986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10737866--0.10431069) × cos(-0.51281570) × R
    0.00306797 × 0.871366489158399 × 6371000     		du = 17031.7615243725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51014037)-sin(-0.51281570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872675973607667-0.871366489158399)×R²
    abs(-0.10431069--0.10737866)×0.00130948444926815×R²
    0.00306797×0.00130948444926815×6371000²
    0.00306797×0.00130948444926815×40589641000000     		ar = 290516629.073032m²