Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9888 / 10526
↖ ↑ ↗
← S 45.552525°
E 37.265625°		 ← 1 710.92 m → S 45.552525°
E 37.287598°		 →
↑
1 710.68 m
↓
↑
1 710.68 m
↓
S 45.567910°
E 37.265625°		 ← 1 710.45 m →
2 926 428 m²		 S 45.567910°
E 37.287598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603546142578125 y=0.642486572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603546142578125 × 214)
    floor (0.603546142578125 × 16384)
    floor (9888.5)     		tx = 9888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642486572265625 × 214)
    floor (0.642486572265625 × 16384)
    floor (10526.5)     		ty = 10526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9888 / 10526 ti = "14/9888/10526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9888/10526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9888 ÷ 214
    9888 ÷ 16384     		x = 0.603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10526 ÷ 214
    10526 ÷ 16384     		y = 0.6424560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603515625 × 2 - 1) × π
    0.20703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.65040785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6424560546875 × 2 - 1) × π
    -0.284912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.895077789705689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.65040785} λ = 0.65040785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895077789705689))-π/2
    2×atan(0.408575814412267)-π/2
    2×0.387877389289534-π/2
    0.775754778579069-1.57079632675     		φ = -0.79504155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.65040785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.265625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79504155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.552525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9888 KachelY 10526 0.65040785 -0.79504155 37.265625 -45.552525
    Oben rechts KachelX + 1 9889 KachelY 10526 0.65079135 -0.79504155 37.287598 -45.552525
    Unten links KachelX 9888 KachelY + 1 10527 0.65040785 -0.79531006 37.265625 -45.567910
    Unten rechts KachelX + 1 9889 KachelY + 1 10527 0.65079135 -0.79531006 37.287598 -45.567910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79504155--0.79531006) × R
    0.000268510000000055 × 6371000     		dl = 1710.67721000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79504155--0.79531006) × R
    0.000268510000000055 × 6371000     		dr = 1710.67721000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.65040785-0.65079135) × cos(-0.79504155) × R
    0.000383499999999981 × 0.700255104403776 × 6371000     		do = 1710.91824110492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.65040785-0.65079135) × cos(-0.79531006) × R
    0.000383499999999981 × 0.700063391833531 × 6371000     		du = 1710.44983390386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79504155)-sin(-0.79531006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700255104403776-0.700063391833531)×R²
    abs(0.65079135-0.65040785)×0.00019171257024575×R²
    0.000383499999999981×0.00019171257024575×6371000²
    0.000383499999999981×0.00019171257024575×40589641000000     		ar = 2926428.21405303m²