Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9884 / 10524
↖ ↑ ↗
← S 45.521744°
E 37.177734°		 ← 1 711.86 m → S 45.521744°
E 37.199707°		 →
↑
1 711.63 m
↓
↑
1 711.63 m
↓
S 45.537137°
E 37.177734°		 ← 1 711.39 m →
2 929 667 m²		 S 45.537137°
E 37.199707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603302001953125 y=0.642364501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603302001953125 × 214)
    floor (0.603302001953125 × 16384)
    floor (9884.5)     		tx = 9884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642364501953125 × 214)
    floor (0.642364501953125 × 16384)
    floor (10524.5)     		ty = 10524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9884 / 10524 ti = "14/9884/10524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9884/10524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9884 ÷ 214
    9884 ÷ 16384     		x = 0.603271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10524 ÷ 214
    10524 ÷ 16384     		y = 0.642333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.603271484375 × 2 - 1) × π
    0.20654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.64887387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642333984375 × 2 - 1) × π
    -0.28466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.894310799311768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64887387} λ = 0.64887387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894310799311768))-π/2
    2×atan(0.408889308345159)-π/2
    2×0.388146007280316-π/2
    0.776292014560633-1.57079632675     		φ = -0.79450431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64887387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.177734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79450431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.521744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9884 KachelY 10524 0.64887387 -0.79450431 37.177734 -45.521744
    Oben rechts KachelX + 1 9885 KachelY 10524 0.64925737 -0.79450431 37.199707 -45.521744
    Unten links KachelX 9884 KachelY + 1 10525 0.64887387 -0.79477297 37.177734 -45.537137
    Unten rechts KachelX + 1 9885 KachelY + 1 10525 0.64925737 -0.79477297 37.199707 -45.537137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79450431--0.79477297) × R
    0.000268660000000032 × 6371000     		dl = 1711.6328600002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79450431--0.79477297) × R
    0.000268660000000032 × 6371000     		dr = 1711.6328600002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64887387-0.64925737) × cos(-0.79450431) × R
    0.000383499999999981 × 0.700638535043895 × 6371000     		do = 1711.85506894416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64887387-0.64925737) × cos(-0.79477297) × R
    0.000383499999999981 × 0.70044681644662 × 6371000     		du = 1711.38664701739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79450431)-sin(-0.79477297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700638535043895-0.70044681644662)×R²
    abs(0.64925737-0.64887387)×0.000191718597274737×R²
    0.000383499999999981×0.000191718597274737×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191718597274737×40589641000000     		ar = 2929666.52200215m²