Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9883 / 10406
↖ ↑ ↗
← S 43.675818°
E 37.155762°		 ← 1 767.08 m → S 43.675818°
E 37.177734°		 →
↑
1 766.87 m
↓
↑
1 766.87 m
↓
S 43.691708°
E 37.155762°		 ← 1 766.61 m →
3 121 780 m²		 S 43.691708°
E 37.177734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.603240966796875 y=0.635162353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.603240966796875 × 214)
    floor (0.603240966796875 × 16384)
    floor (9883.5)     		tx = 9883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635162353515625 × 214)
    floor (0.635162353515625 × 16384)
    floor (10406.5)     		ty = 10406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9883 / 10406 ti = "14/9883/10406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9883/10406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9883 ÷ 214
    9883 ÷ 16384     		x = 0.60321044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10406 ÷ 214
    10406 ÷ 16384     		y = 0.6351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60321044921875 × 2 - 1) × π
    0.2064208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.64849038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6351318359375 × 2 - 1) × π
    -0.270263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.849058366070435
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64849038} λ = 0.64849038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.849058366070435))-π/2
    2×atan(0.427817589899094)-π/2
    2×0.40425474879127-π/2
    0.808509497582541-1.57079632675     		φ = -0.76228683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64849038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.155762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76228683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.675818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9883 KachelY 10406 0.64849038 -0.76228683 37.155762 -43.675818
    Oben rechts KachelX + 1 9884 KachelY 10406 0.64887387 -0.76228683 37.177734 -43.675818
    Unten links KachelX 9883 KachelY + 1 10407 0.64849038 -0.76256416 37.155762 -43.691708
    Unten rechts KachelX + 1 9884 KachelY + 1 10407 0.64887387 -0.76256416 37.177734 -43.691708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76228683--0.76256416) × R
    0.000277330000000076 × 6371000     		dl = 1766.86943000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76228683--0.76256416) × R
    0.000277330000000076 × 6371000     		dr = 1766.86943000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64849038-0.64887387) × cos(-0.76228683) × R
    0.000383489999999931 × 0.723258670588463 × 6371000     		do = 1767.07628097715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64849038-0.64887387) × cos(-0.76256416) × R
    0.000383489999999931 × 0.72306712499716 × 6371000     		du = 1766.60829395552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76228683)-sin(-0.76256416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723258670588463-0.72306712499716)×R²
    abs(0.64887387-0.64849038)×0.000191545591303188×R²
    0.000383489999999931×0.000191545591303188×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191545591303188×40589641000000     		ar = 3121779.64536383m²